Sokszínű matematika 11.

10. A parabola egyenlete
parabola
Definíció: A parabola azon pontok halmaza a síkon, amelyeknek a sík egy d egyenesétől és egy d -re nem illeszkedő F pontjától vett távolsága egyenlő (57. ábra).
57. ábra

57. ábra

F a parabola fókuszpontja (gyújtópontja), d a parabola vezéregyenese (direktrixe). Könnyen látható, hogy az F -re illeszkedő, d -re merőleges t egyenesre a parabola tengelyesen szimmetrikus. A t a parabola tengelye. A tengely F és d közötti szakaszának T felezőpontja illeszkedik a parabolára. A T a parabola tengelypontja. F és d távolsága a parabola paramétere, jele p ( p > 0) .
A derékszögű koordináta-rendszerben F és d helyzetétől függően az általuk meghatározott parabola sokféleképpen helyezkedhet el. A továbbiakban néhány speciális esetben meghatározzuk a parabola egyenletét, azaz egy olyan kétismeretlenes egyenletet, amelyet a parabola pontjainak koordinátái kielégítenek, más pontok koordinátái viszont nem elégítenek ki.
I. Legyen a p paraméterű parabola tengelye az y tengely, tengelypontja az origó, fókuszpontja pedig illeszkedjen az y tengely pozitív felére.
58. ábra

58. ábra

Ekkor , a vezéregyenes egyenlete pedig y = (58. ábra) .
Ha P ( x ; y ) a parabola tetszőleges pontja, akkor a definíció alapján
Négyzetre emelve
A mindkét oldalon fellépő tagokat elhagyva és y -ra rendezve kapjuk, hogy
a parabola tengelyponti egyenlete
59. ábra

59. ábra

Ez az egyenlet a p paraméterű, fókuszpontú parabola egyenlete. Szokás ezt az egyenletet a parabola tengelyponti egyenletének nevezni.
II. Az előzőhöz hasonló módon nyerhető, hogy
a) a p paraméterű, fókuszpontú parabola egyenlete (59. ábra)
60. ábra

60. ábra

61. ábra

61. ábra

62. ábra

62. ábra

b) a p paraméterű, fókuszpontú parabola egyenlete (60. ábra)
c) a p paraméterű, fókuszpontú parabola egyenlete (61. ábra)
III. Legyen a p paraméterű, y tengellyel párhuzamos tengelyű „fölfelé nyíló” parabola tengelypontja a T ( u ; v ) pont. Ekkor a parabola fókuszpontja , vezéregyenesének egyenlete y = v (62. ábra) .
A parabola tetszőleges P ( x ; y ) pontjára a definíció szerint
Ebből
A közös tagok elhagyása, majd összevonások után
ahonnan
A kapott egyenlet a p paraméterű, T ( u ; v ) tengelypontú, y tengellyel párhuzamos tengelyű, „fölfelé nyíló” parabola egyenlete.
Megjegyzések:
1.
Ezt a parabolát az egyenletű parabola ( u ; v ) vektorral történő eltolásával kapjuk (63. ábra) .
2.
A 64. ábrán látható a többi T ( u ; v ) tengelypontú, p paraméterű, valamelyik koordinátatengellyel párhuzamos tengelyű parabola rajza és egyenlete.
Be lehet bizonyítani, hogy a parabola egyenlete mindig másodfokú kétismeretlenes egyenlet, akárhol is helyezkedik el a koordináta-rendszerben.
*1. példa
Adott a síkon egy egyenes és egy rá nem illeszkedő pont. Szerkesszük meg annak a parabolának néhány pontját, amelynek vezéregyenese az adott egyenes, fókuszpontja az adott pont.
Megoldás
65. ábra

65. ábra

A parabola paramétere az adott pont és az egyenes p távolsága. A fókuszpontból a vezéregyenesre állított merőleges szakasz felezőpontja a parabola T tengelypontja. A parabola két, T -től különböző pontja a következőképpen szerkeszthető (65. ábra) .
1.
Felveszünk egy -nél hosszabb, s hosszúságú szakaszt.
2.
Az adott pont (fókuszpont) köré s sugarú kört szerkesztünk.
3.
Ezt a kört elmetsszük egy olyan egyenessel, amely párhuzamos a vezéregyenessel, és a fókuszpontot tartalmazó félsíkban tőle s távolságban halad. A kapott két metszéspont a parabola két, a tengelyre nézve szimmetrikusan elhelyezkedő pontja.
Ezzel az eljárással a parabola véges sok pontja szerkeszthető.
66. ábra

66. ábra

*2. példa
Határozzuk meg az y = x 2 + 2 x + 2 egyenletű parabola tengelypontját, paraméterét, fókuszpontját és vezéregyenesének egyenletét.
Megoldás
Az adott egyenlet jobb oldalán teljes négyzetet kialakítva
y = ( x + 1) 2 +1 ,
ahonnan
y – 1 = ( x + 1) 2 .
Összevetve ezt a megfelelő általános egyenlettel adódik, hogy a tengelypont T (–1; 1) , a paraméter p = , a fókuszpont , a vezéregyenes egyenlete pedig y = (66. ábra) .
67. ábra

67. ábra

*3. példa
Írjuk fel annak a 2 paraméterű parabolának az egyenletét, amelynek tengelye párhuzamos az y tengellyel és fókuszpontja F (–3; 5) .
Megoldás
Két parabola felel meg a feltételeknek, az egyiknek a tengelypontja T 1 (–3; 4) , a másiké T 2 (–3; 6) (67. ábra) .
A „fölfelé nyíló” parabola egyenlete
a „lefelé nyíló” paraboláé
*4. példa
Hol metszi a 8 y = ( x + 1) 2 egyenletű parabolát a fókuszpontjára illeszkedő, 1 meredekségű egyenes?
68. ábra

68. ábra

Megoldás
A parabola egyenletéből kiolvasható, hogy tengelye párhuzamos az y tengellyel, „fölfelé nyíló”, tengelypontja
T (–1; 0) , paramétere pedig 4 (68. ábra) .
Az adatokból könnyen adódik, hogy a parabola fókuszpontja F (–1; 2) . Az F -re illeszkedő, 1 meredekségű egyenes egyenlete az iránytényezős alak alapján:
y – 2 = x + 1 ,
vagy másképpen
y = x + 3 .
Az egyenes és a parabola közös pontjainak koordinátái a parabola és az egyenes egyenletéből álló
egyenletrendszer megoldásai.
A második egyenletet az elsőbe helyettesítve
8 · ( x + 3) = ( x + 1) 2 ,
ami rendezés után
x 2 – 6 x – 23 = 0 .
Ennek megoldásai:
Ezeket behelyettesítve kapjuk a megfelelő y értékeket, amelyekkel a két metszéspont:
A 4. példa parabolájának és egyenesének két közös pontja van. Általában is igaz, hogy egy parabolának és egy egyenesnek legfeljebb két közös pontja lehet, ugyanis az egyenleteikből álló kétismeretlenes egyenletrendszer másodfokú, így legfeljebb két különböző rendezett valós számpár megoldása van.
69. ábra

69. ábra

*5. példa
Írjuk fel a P (5; 8) pontra illeszkedő azon egyenesek egyenletét, amelyeknek a T (5; 5) tengelypontú, 2 paraméterű, y tengellyel párhuzamos tengelyű, „lefelé nyíló” parabolával pontosan 1 közös pontja van.
Megoldás
A feltételekből adódik, hogy a parabola egyenlete
Mivel a P pont illeszkedik a parabola x = 5 egyenletű tengelyére és a tengelynek egyetlen közös pontja van a parabolával (a T tengelypont), ezért a feladat egyik megoldása a parabola tengelye (69. ábra) .
A többi alkalmas egyenes nem párhuzamos az y tengellyel, ezért egyenletük
y – 8 = m · ( x – 5)
alakú, ahol m a megfelelő meredekség.
Egy ilyen egyenesnek a parabolával pontosan egy közös pontja van, ha az
egyenletrendszernek pontosan egy rendezett valós számpár megoldása van.
Mindkét egyenletből y -t kifejezve, a kapott kifejezéseket egyenlővé téve, a négyzetre emelést elvégezve, majd 0 -ra rendezve kapjuk, hogy
x 2 + (4 m – 10) x + 37 – 20 m = 0 .
Ennek az egyenletnek pontosan akkor van 1 megoldása, ha diszkriminánsa 0 , azaz
(4 m – 10) 2 – 4 · (37 – 20 m ) = 0 .
A bal oldali kifejezés alakítása és a lehetséges egyszerűsítések elvégzése után kapjuk, hogy
m 2 – 3 = 0 ,
ahonnan
70. ábra

70. ábra

Az adott parabolával 1 közös pontja van a következő, P -re illeszkedő egyeneseknek:
Az e 1 és e 2 egyenesek egymás tükörképei t -re nézve, és úgy van egy közös pontjuk a parabolával, hogy a közös ponton kívül a parabola összes többi pontja az általuk meghatározott félsíkok egyikében van. e 1 és e 2 a parabola P -re illeszkedő érintői (69. ábra) .
Az 5. példa megoldása azt mutatta, hogy a parabola érintőjének fogalmát nem tudjuk olyan könnyen elintézni, mint a kör érintőjének fogalmát, ahol elegendő volt azt mondanunk, hogy egyetlen közös pontja van a körrel.
A következőkben kétféle szabatos definíciót is adunk a parabola érintőjére (70. ábra) .
71. ábra

71. ábra

Definíció: A parabola érintője olyan egyenes, amelynek egy közös pontja van a parabolával, de nem párhuzamos a parabola tengelyével.
Definíció: A parabola érintője olyan egyenes, amelynek egy közös pontja van a parabolával, és a parabola összes többi pontja az egyenes által meghatározott egyik félsíkban van.
Be lehet bizonyítani, hogy a két definíció ekvivalens.
A parabola tengelypontjára illeszkedő, a vezéregyenessel párhuzamos érintő a parabola csúcsérintője (71. ábra) .
Kosárba helyezve!