Sokszínű matematika 11.

Az alábbi tartalmat jelenleg INGYENES hozzáféréssel tekinted meg.
Amennyiben szeretnél teljes hozzáférést az oldalhoz, kérlek, regisztrálj, jelentkezz be, és vásárold meg a szükséges elektronikus licencet vagy írd be a nyomtatott könyv hátuljában található kódot!
11. A parabola és a másodfokú függvény
     (kiegészítő anyag)
9. osztályban a másodfokú függvények tárgyalása kapcsán azt mondtuk, hogy a valós számok halmazán értelmezett bármely másodfokú függvény grafikonja parabola, és azt az ℝ → ℝ, xx 2 függvény grafikonjára be is bizonyítottuk. Frissen szerzett koordinátageometriai ismereteink birtokában az általános esetet is tudjuk bizonyítani.
Tétel: Bármely, a valós számok halmazán értelmezett másodfokú függvény grafikonja olyan parabola, amelynek tengelye párhuzamos az y tengellyel.
Bizonyítás
Tekintsük az f : ℝ → ℝ, f ( x ) = ax 2 + bx + c másodfokú függvényt, és tegyük fel, hogy a > 0 . f grafikonjának egyenlete
y = ax 2 + bx + c . Ennek az egyenletnek a jobb oldalát teljes négyzetté kiegészítéssel alakítjuk:
Ebből
Ezt összehasonlítva a T ( u ; v ) tengelypontú, p paraméterű „felfelé nyíló” parabola
egyenletével, kapjuk, hogy
az f : ℝ → ℝ , f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a > 0) másodfokú függvény grafikonja az y tengellyel párhuzamos tengelyű, tengelypontú, paraméterű parabola.
a < 0 esetre a bizonyítás hasonló. A parabolára vonatkozó megállapításaink annyiban változnak, hogy ebben az esetben a parabola paramétere
Ezzel bebizonyítottuk a tételt.
Igaz a most bizonyított tétel megfordítása is:
Tétel: Bármely, az y tengellyel párhuzamos tengelyű parabolához létezik pontosan egy olyan, a valós számok halmazán értelmezett másodfokú függvény, amelynek grafikonja a tekintett parabola.
Bizonyítás
Tekintsünk egy y tengellyel párhuzamos tengelyű, T ( u ; v ) tengelypontú, p paraméterű „felfelé nyíló” parabolát. Ennek egyenlete
Rendezzük ezt az egyenletet y -ra, majd alakítsuk a jobb oldalt:
A kapott egyenlet az f : ℝ → ℝ, f ( x ) = másodfokú függvény grafikonjának egyenlete.
„Lefelé nyíló” parabola esetén a kiinduló egyenlet
a bizonyítás teljesen analóg módon történik.
A fentebb bizonyított két tételt kicsit más megfogalmazásban összefoglaljuk.
Jelölje M a valós számok halmazán értelmezett másodfokú függvények halmazát, P pedig az y tengellyel párhuzamos tengelyű parabolák halmazát.
Tétel: Az M és P halmazok elemei kölcsönösen egyértelmű módon megfeleltethetők egymásnak, azaz bármely M -beli függvényhez létezik egy és csak egy olyan P -beli parabola, amely a tekintett függvény grafikonja, és fordítva, bármely P -beli parabolához létezik egy és csak egy olyan M -beli függvény, amelynek grafikonja a tekintett parabola.
Kosárba helyezve!