Sokszínű matematika 11.

Az alábbi tartalmat jelenleg INGYENES hozzáféréssel tekinted meg.
Amennyiben szeretnél teljes hozzáférést az oldalhoz, kérjük, regisztrálj, jelentkezz be, és vásárold meg a szükséges elektronikus licencet vagy írd be a nyomtatott könyv hátuljában található kódot!
12. Kúpszeletek és egyenleteik a koordináta-rendszerben
     (kiegészítő anyag)
Az ellipszis
ellipszis
Definíció: Az ellipszis azon pontok halmaza a síkon, amelyeknek a sík két adott pontjától vett távolságösszege – a két adott pont távolságánál nagyobb – állandó (72. ábra).
72. ábra

72. ábra

fókuszpont, középpont
A két adott pont ( F 1 , F 2 ) az ellipszis két fókuszpontja (gyújtópontja).
Az F 1 F 2 szakasz O felezőpontja az ellipszis középpontja.
Az ellipszis bármely P pontjára nézve állandó F 1 P + F 2 P távolságösszeget 2 a -val szokás jelölni:
F 1 P + F 2 P = 2 a .
A definícióból adódóan az ellipszis tengelyesen szimmetrikus az F 1 F 2 egyenesre is és az F 1 F 2 -t O -ban metsző, rá merőleges egyenesre is. Ebből következik, hogy az ellipszis középpontosan szimmetrikus az O középpontra nézve.
Az ellipszisnek az F 1 F 2 egyenesre illeszkedő A és B pontjainak távolsága a definíció alapján
AB = 2 a .
nagytengely
A 2 a hosszúságú AB szakasz az ellipszis nagytengelye.
kistengely
A nagytengely O -ra illeszkedő felező merőlegesének az ellipszishez tartozó C és D pontjai által meghatározott szakasz az ellipszis kistengelye, hosszát 2 b jelöli:
CD = 2 b .
vezérsugár
Az F 1 P és F 2 P a P ponthoz tartozó vezérsugarak. Szokásos jelölésük:
F 1 P = r 1 és F 2 P = r 2 .
Az F 1 O = F 2 O távolságot c -vel szokás jelölni.
A bevezetett jelölésekkel a definíció alapján
AO = BO = F 1 C = F 2 C = F 2 D = F 1 D = a ,
CO = DO = b ,
F 1 O = F 2 O = c .
Az ellipszist egyértelműen meghatározza F 1 , F 2 és 2 a ( > F 1 F 2 ) .
73. ábra

73. ábra

74. ábra

74. ábra

A 72. ábráról leolvasható, hogy az a , b , c paraméterek nem függetlenek egymástól, ugyanis például az F 1 OC derékszögű háromszögre Pitagorasz tételét alkalmazva
a 2 = b 2 + c 2 .
*1. példa
Szerkesszük meg egy fókuszpontjaival és nagytengelyének hosszával adott ellipszis néhány pontját.
Megoldás
Adott tehát F 1 , F 2 és egy 2 a hosszúságú szakasz úgy, hogy
2 a > F 1 F 2 .
Ha O az F 1 F 2 szakasz felezőpontja, akkor a nagytengely egyenesére illeszkedő A és B ellipszispontok könnyen szerkeszthetők oly módon, hogy O -ból mindkét irányban felmérjük az adott szakasz felét, azaz a -t (73. ábra) .
75. ábra

75. ábra

76. ábra

76. ábra

A kistengely két végpontja az F 1 F 2 szakasz felezőmerőlegesének azon C és D pontjai, amelyekre F 1 C = F 2 C = F 2 D = F 1 D = a . Így az F 1 középpontú, a sugarú kör metszi ki F 1 F 2 felezőmerőlegeséből a C és D pontokat (74. ábra) .
Az ellipszisnek két olyan pontját, amelyik nem illeszkedik egyik szimmetriatengelyre sem, a következőképpen kaphatjuk meg:
1.
Az adott 2 a hosszúságú szakaszt felosztjuk két különböző hosszúságú r 1 és r 2 szakaszra.
2.
Az F 1 középpontú, r 1 sugarú és az F 2 középpontú, r 2 sugarú körök metszéspontjai az ellipszis pontjai (75. ábra) .
Ha a kapott két pontot tükrözzük a kistengely egyenesére, újabb két ellipszispontot kapunk.
Ezzel az eljárással az ellipszisnek véges sok pontját meg tudjuk szerkeszteni.
Helyezzük el az ellipszist a koordináta-rendszerben úgy, hogy középpontja az origó legyen, fókuszpontjai pedig az F 1 (– c ; 0) és F 2 ( c ; 0) pontok, ahol c adott pozitív valós szám. Legyen adott továbbá a , a fél nagytengely hossza ( a > c ) (76. ábra) .
Az ellipszis P ( x ; y ) pontjainak koordinátáira, és csak azokra érvényes az
az ellipszis középponti egyenlete
egyenlet, ahol b a fél kistengely hossza, azaz b 2 = a 2 c 2 .
A kapott összefüggés az ellipszis középponti egyenlete.
Vázlatosan, a hosszadalmas számítások mellőzésével megmutatjuk, hogyan kapható az ellipszis középponti egyenlete. A definíció alapján az ellipszis bármely P ( x ; y ) pontjára teljesül, hogy
F 1 P + F 2 P = 2 a ,
azaz
Négyzetre emelés, 2 -vel való egyszerűsítés, majd rendezés után kapjuk, hogy
Újabb négyzetre emelés, a műveletek elvégzése, összevonások és alkalmas kiemelések után adódik, hogy
x 2 · ( a 2 c 2 ) + y 2 a 2 = a 2 · ( a 2 c 2 ) .
A zérustól különböző a 2 · ( a 2 c 2 ) kifejezéssel osztva az egyenlet mindkét oldalát
Mivel b 2 = a 2 c 2 , ezért valóban
*2. példa
Adjuk meg az origó középpontú ellipszis nagytengelyének és kistengelyének hosszát, valamint fókuszpontjait, ha nagytengelye illeszkedik az x tengelyre, egyenlete pedig
16 x 2 + 36 y 2 – 576 = 0 .
Megoldás
Mivel 576 = 16 · 36 , ezért az adott egyenlet mindkét oldalát 576 -tal osztva és rendezve kapjuk, hogy
vagy
Összevetve ezt a középponti egyenlet általános alakjával, adódik, hogy a = 6 , b = 4 . A nagytengely hossza tehát 12 , a kistengely hossza 8 .
A fókuszpontok az x tengelyre illeszkednek, az origóra nézve szimmetrikusan. Ha a szokásos jelöléssel c az origótól vett távolságuk, akkor
A fókuszpontok (77. ábra) :
77. ábra

77. ábra

A hiperbola
78. ábra

78. ábra

hiperbola, fókuszpontok, középpont,
valós tengely
Definíció: A hiperbola azon pontok halmaza a síkon, amelyeknek a sík két adott pontjától vett távolság­különbsége abszolútértékben – a két adott pont távolságánál kisebb – állandó (78. ábra) .
A két adott F 1 , F 2 pont a hiperbola fókuszpontjai (gyújtópont­jai), az F 1 F 2 szakasz O felezőpontja a hiperbola középpontja.
A hiperbola tetszőleges P pontját a fókuszpontokkal összekötő szakaszok a P vezérsugarai: F 1 P = r 1 , F 2 P = r 2 .
Az adott | r 1 r 2 | távolság szokásos jelölése 2 a :
| r 1 r 2 | = 2 a .
A definícióból adódik, hogy a hiperbola nem összefüggő ponthalmaz, két részből, két ágból tevődik össze.
Az F 1 F 2 egyenesnek a hiperbolához tartozó A és B pontjára a definíció alapján teljesül, hogy AB = 2 a . Az AB szakasz a hiperbola valós tengelye. (Szokás az AB egyenest is valós tengelynek hívni.)
A definícióból adódóan a hiperbola tengelyesen szimmetrikus az F 1 F 2 egyenesre is és a rá merőleges, O -ra illeszkedő egyenesre is, ennélfogva középpontosan szimmetrikus O -ra nézve.
Az F 1 O = F 2 O távolságot szokás c -vel jelölni, így F 1 F 2 = 2 c . Ha C és D jelöli az F 1 F 2 felezőmerőlegesének azon pontjait, amelyekre AC = BC = AD = BD = c , akkor Pitagorasz tételéből adódóan
OC 2 = OD 2 = c 2 a 2 .
Az OC és OD szakaszok hosszát szokás b -vel jelölni. Így
c 2 = a 2 + b 2 .
képzetes tengely
A 2 b hosszúságú CD szakasz a hiperbola képzetes tengelye. (Képzetes tengely elnevezéssel szokták az CD egyenest is illetni.)
79. ábra

79. ábra

Helyezzük el a hiperbolát a koordináta-rendszerben úgy, hogy középpontja az origó legyen, fókuszpontjai pedig az F 1 (– c ; 0) és F 2 ( c ; 0) pontok, ahol c adott pozitív valós szám. Adott még a , a fél valós tengely hossza úgy, hogy c > a (79. ábra) .
A hiperbola P ( x ; y ) pontjainak koordinátáira, és csak azokra érvényes az
egyenlet, ahol b a fél képzetes tengely hossza, azaz b 2 = c 2 a 2 .
Ez az egyenlet a hiperbola középponti egyenlete.
Megjegyzések:
Az f : (\ { 0 }) → ℝ, f ( x ) = függvényt 9. osztályban ábrázoltuk, és azt mondtuk, hogy a grafikonja hiperbola (80. ábra) .
80. ábra

80. ábra

Be lehet bizonyítani, hogy az f függvény y = egyenletű grafikonja valóban hiperbola. Ennek a hiperbolának a középpontja az origó, szimmetriatengelyei az y = x és y = – x egyenletű egyenesek, fókuszpontjai pedig:
Belátható az is, hogy minden
alakú lineáris törtfüggvény grafikonja hiperbola.
*3. példa
Egy hiperbola szimmetriatengelyei a koordinátatengelyek, fókuszpontjai illeszkednek az x tengelyre, két pontja pedig Írjuk fel a hiperbola egyenletét, és számítsuk ki a fókuszpontok koordinátáit.
Megoldás
A feladat feltételeiből adódóan a hiperbola egyenlete
ahol a a fél valós tengely, b a fél képzetes tengely hossza. Ezt az egyenletet P 1 és P 2 koordinátái kielégítik, így a behelyettesítés után a -ra és b -re a következő egyenletrendszer adódik:
A két egyenlet bal oldalait egyenlővé téve, majd 36 a 2 b 2 -tel mindkét oldalt megszorozva kapjuk, hogy
900 b 2 – 256 a 2 = 1053 b 2 – 324 a 2 .
Rendezés és 17 -tel való osztás után
4 a 2 = 9 b 2 ,
ahonnan, mivel a és b pozitív számok,
Ezt behelyettesítve az első egyenlet 9 a 2 b 2 -szeresébe
adódik, amiből összevonás, a 0 -tól különböző 81 b 2 -tel történő osztás, majd 4 -gyel való szorzás után kapjuk, hogy
b 2 = 4 . Mivel b pozitív, ezért b = 2 és a = 3 .
A hiperbola egyenlete tehát
A fókuszpontok F 1 (– c ; 0) és F 2 ( c ; 0), ahol c 2 = a 2 + b 2 és c > 0. a és b értékét behelyettesítve kapjuk, hogy c = .
A fókuszpontok tehát:
A kör, a parabola, az ellipszis és a hiperbola mint kúpszeletek
A kúpszeleteket jelenlegi tudásunk szerint Menaikhmosz ókori görög matematikus fedezte fel az ókor egyik klasszikus problémájának, a kockakettőzésnek megoldását keresve.

Már említettük korábban, hogy Apollóniusz egy nyolc kötetből álló művet írt a kúpszeletekről. Művének óriási hatása volt a későbbi korok matematikusaira. Többen (pl. Arkhimédész , Descartes , Fermat ) foglalkoztak a kúpszeletekkel, de az első olyan mű, amely már bizonyos értelemben független volt Apollóniusz hatásától, csak 1748-ban jelent meg, szerzője Leonhard Euler volt.
Mint láttuk, a síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben a kör, a parabola, az ellipszis és a hiperbola egyenlete is másodfokú kétismeretlenes egyenlet. Ez jelzi, hogy ezek a görbék, bár alakjuk lényegesen különbözik egymástól, rokonságban állnak egymással. Egy másik típusú „rokoni kötelék” is van közöttük, ami térbeli származtatásukból adódik. Ezek a görbék ugyanis egy forgáskúpnak (a hiperbola esetén úgynevezett kettős forgáskúpnak) bizonyos síkokkal vett síkmetszeteiként is előállnak, amint ez a 81. ábrán látható.
Be lehet bizonyítani, hogy az ilyen módon metszésvonalként előálló görbék eleget tesznek a síkbeli definíciókban megfogalmazott feltételeknek.
81. ábra

81. ábra

Leckéhez tartozó extrák

Kúpszeletek

A kúpszelet olyan síkgörbe, mely egy egyenes körkúp síkkal való metszeteként jön létre.

Kúpszeletek

Kosárba helyezve!