Sokszínű matematika 11.

13. A koordinátageometria két gyakorlati alkalmazása
Hogyan érhetjük el a legnagyobb hasznot?
A gazdasági életben nagyon fontos, hogy bizonyos termelési folyamatokat a lehető leggazdaságosabban tervezzenek és szervezzenek meg. A következő példa egy ilyen, az optimális tervezéshez nagyon gyakran használt módszert mutat be.
*1. példa
Egy multinacionális cég egyik üzeme személyi számítógépekhez gyárt CD-olvasókat. Az üzem kétféle CD-olvasót gyárt, legyenek ezek D 1 és D 2 . Egy termék összeszerelése három egymást követő fázisból áll. Az egyes fázisoknak megfelelő szerelési műveleteket három különböző automata gépsor (jelölje őket a gyártási sorrendnek megfelelően A , B és C ) végzi úgy, hogy mindhárom gépsor alkalmas mindkét típusú eszköz gyártására, viszont különböző feltételekkel:
Az A gépsor D 1 -ből 1 darabot 5 perc alatt, míg D 2 -ből 1 darabot 10 perc alatt készít elő a következő gyártási fázisra, és naponta legfeljebb 16 órán keresztül lehet működtetni.
A B gépsor D 1 -ből és D 2 -ből is 5 perc alatt készít elő 1 darabot az utolsó fázisra, viszont naponta legfeljebb 9 órán keresztül működhet.
A C gépsor megállás nélkül, azaz naponta 24 órán keresztül működhet, és D 1 -ből 20 perc, D 2 -ből 5 perc alatt készít el 1 darabot.
Az üzemnek a járulékos költségeket (adó, rezsi, munkabér, stb.) leszámítva D 1 darabonként 3 €, D 2 darabonként 2 € tiszta hasznot hoz.
Hogyan szervezzék meg az üzem napi termelését, ha a legnagyobb profit elérése a cél?
Megoldás
A könnyebb átláthatóság végett foglaljuk adatainkat táblázatba. (Az egyszerűség kedvéért az idő egysége legyen 5 perc.)
gépsor 1 db D 1
elkészítési ideje
1 db D 2
elkészítési ideje
a gépsor maximális
működési ideje
A 1 2 192
B 1 1 108
C 4 1 288



Jelölje x az 1 nap alatt D 1 -ből, y az 1 nap alatt D 2 -ből előállított termékek számát ( x és y természetesen egész számok). A feltételek alapján x -re és y -ra a következő egyenlőtlenségeknek kell teljesülnie:
Ennek az egyenlőtlenség-rendszernek azon x és y megoldásait keressük, amelyekre a h = 3 x + 2 y kifejezés a legnagyobb értéket veszi fel, azaz a napi profit értéke a legnagyobb.
Az (1) – (5) egyenlőtlenségek mindegyike egy félsíkot határoz meg a derékszögű koordináta-rendszerben. Ezen félsíkok metszete egy olyan tartomány lesz, amely tartomány P ( x ; y ) pontjainak, és csak azoknak a koordinátái kielégítik az (1) – (5) egyenlőtlenségek mindegyikét. Ábrázoljuk ezt a tartományt.
Az (1) és (2) egyenlőtlenségeknek együttesen a koordináta-rendszer első síknegyede felel meg (82. ábra) .
A (3) egyenlőtlenség az x + 2 y = 192 egyenletű egyenes „alatti” tartományt határozza meg. Az (1), (2) és (3) egyenlőtlenségeknek megfelelő tartomány a 83. ábrán látható.
Az (1), (2), (3) és (4) egyenlőtlenségeknek megfelelő tartomány a 84. ábrán, mind az öt egyenlőtlenségnek megfelelő tartomány a 85. ábrán látható.
Az (1) – (5) egyenlőtlenségek egyidejűleg teljesülnek a 85. ábrán látható zárt konvex ötszöglemez egész koordinátájú pontjainak koordinátáira. Ezen pontok közül azt kell meghatároznunk, amelynek koordinátáira a h = 3 x + 2 y kifejezés maximális.
A 86. ábrán jól látható, hogy a fenti kifejezés egy párhuzamos egyenessereget ír le, és látható az is, hogy h arra az egyenesre maximális, amelyik illeszkedik az x + y = 108 és 4 x + y = 288 egyenletű egyenesek metszéspontjára. A két egyenes egyenletéből álló egyenletrendszert megoldva kapjuk, hogy ez a P (60; 48) pont.
86. ábra

86. ábra

Ez azt jelenti, hogy az üzem akkor termeli a legnagyobb profitot, ha a D 1 termékből naponta 60, a D 2 termékből naponta 48 darabot állít elő. Ekkor a napi haszon
h = 3 · 60 + 2 · 48 = 276 €.
Kiszámítható az is, hogy a maximális haszon eléréséhez a B és a C gép a megengedett maximális időben, míg az A gép napi 14 órán keresztül dolgozik.
A most tárgyalt probléma a lineáris programozás tárgykörébe tartozik, az itt bemutatott megoldási módot grafikus módszernek hívják.
Hogyan és miért úgy működik a parabolaantenna?
A parabolaantenna napjaink telekommunikációjának nagyon fontos eszköze. A Föld forgásával szinkronban keringő műholdak által sugárzott elektromágneses jeleket fogja fel és továbbítja a megfelelő kommunikációs eszközökbe (pl. televízió, rádiótelefon, számítógép).
Ha egy parabolát megforgatunk a szimmetriatengelye körül, akkor forgási paraboloidot kapunk. A parabolaantenna tányérja egy forgási paraboloidból a forgástengelyre merőleges síkkal kimetszett felület (87. ábra) .
87. ábra

87. ábra

88. ábra

88. ábra

89. ábra

89. ábra

A parabolaantenna működésének lényege, hogy a tányérjára a forgástengelyével párhuzamosan beérkező jelek a felületről visszaverődnek, és a visszavert jelek a paraboloid fókuszpontjában elhelyezett jelfogó egységbe (detektor) jutnak (88. ábra) .
Ez a jelenség a visszaverődés törvényével és a parabola egy szép geometriai tulajdonságával magyarázható. A forgásszimmetria miatt elegendő egy, a tengelyre illeszkedő síkmetszetet vizsgálnunk (88. ábra) .
Érkezzen a tengellyel párhuzamos jel (a 89. ábrán a b egyenes) a parabola E pontjába. Innen úgy verődik vissza ( v egyenes), hogy a parabola E -beli e érintőjére emelt merőlegessel bezárt beesési szög egyenlő a visszaverődési szöggel. Viszont ekkor b -nek és v -nek az e -vel bezárt szöge is megegyezik, azaz az érintő felezi a b és v egyenesek által bezárt egyik szöget. Ez a tény a visszaverődés törvényének következménye.
A továbbiakban koordinátageometriai eszközökkel egy konkrét esetben megmutatjuk, hogy a parabola rendelkezik egy olyan tulajdonsággal, amely biztosítja, hogy a v egyenes illeszkedik az F fókuszpontra.
Tétel: A parabola tetszőleges P pontjába húzott érintő felezi a fókuszpontot P -vel összekötő egyenes és P -ből a vezéregyenesre állított merőleges egyenes által bezárt szöget.
Bizonyítás (egy konkrét parabolára):
Tekintsük az y = x 2 egyenletű parabolát, és legyen e a
P ( a ; a 2 ) ( a > 0) pontba húzott érintő (90. ábra) .
A parabola fókuszpontja , vezéregyenesének egyenlete
Az x = a egyenletű egyenes a vezéregyenest a pontban metszi.
90. ábra

90. ábra

A parabola definíciójából adódóan FP = PT , azaz az FTP háromszög egyenlő szárú. Be fogjuk bizonyítani, hogy e merőleges az FT egyenesre, ami egyben azt is jelenti, hogy felezi a TPF szöget.
Bizonyításunk lépései:
1.
e iránytangensének meghatározása.
2.
Az FT egyenes iránytangensének meghatározása.
3.
A két iránytangens összehasonlítása.

1.
Jelölje e iránytangensét m . Ezzel e egyenlete:
ya 2 = m · ( xa ).
e -nek a parabolával pontosan egy közös pontja van, ezért az
egyenletrendszernek egy megoldása van. Ez pontosan akkor teljesül, ha az
x 2mx + maa 2 = 0
másodfokú egyenlet diszkriminánsa 0, azaz
m 2 – 4 ma + 4 a 2 = ( m – 2 a ) 2 = 0.
Ebből
m = 2 a .
2.
Az FT egyenes m’ iránytangense:
3.
Mivel m · m’ = –1, ezért e valóban merőlegesen metszi FT -t, így felezi a TPF szöget.
Ezzel a tételt erre a konkrét esetre beláttuk.
Megjegyzés: A 90. ábráról leolvasható, de számolással is könnyen igazolható, hogy az e érintő és az FT egyenes az pontban metszik egymást.
Kosárba helyezve!