Sokszínű matematika 11.

Az alábbi tartalmat jelenleg INGYENES hozzáféréssel tekinted meg.
Amennyiben szeretnél teljes hozzáférést az oldalhoz, kérlek, regisztrálj, jelentkezz be, és vásárold meg a szükséges elektronikus licencet vagy írd be a nyomtatott könyv hátuljában található kódot!
1. Vektorok a koordináta-rendszerben. Műveletek koordinátáik-
    kal adott vektorokkal (emlékeztető)
A koordinátageometria alapvető összefüggéseinek és módszere­inek tárgyalásához szükségünk lesz a koordináta-rendszerbeli vektorokról eddig tanultakra, ezért ebben a fejezetben ezeket az ismereteket foglaljuk össze.
Helyvektor, bázisvektorok, vektor koordinátái
helyvektor
Definíció: A derékszögű koordináta-rendszerben a
P ( x ; y ) pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor. (1. ábra)
Tétel: Ha i az (1; 0) , j pedig a (0; 1) pont helyvektora, akkor a sík bármely vektora egyértelműen áll elő
= a 1 i + a 2 j alakban (az i és j vektorok lineáris kombinációjaként). (2. ábra)
i és j a koordináta-rendszer bázisvektorai, az a 1 és a 2 valós számok pedig az vektor koordinátái. Jelölés: ( a 1 ; a 2 ) .
Egy vektor koordinátái a koordináta-rendszerben megegyeznek origó kezdőpontú reprezentánsa végpontjának koordinátáival. Ebből adódik, hogy a koordinátarendszer egy adott pontjának és a pont helyvektorának koordinátái megegyeznek.
Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal
1. Két vektor összegének koordinátái
Ha = a 1 i + a 2 j és = b 1 i + b 2 j , akkor
+ = ( a 1 + b 1 ) i + ( a 2 + b 2 ) j ,
azaz az összegvektor megfelelő koordinátáit az összeadandó vektorok megfelelő koordinátáinak összegeként kapjuk. (3. ábra)
2. Két vektor különbségének koordinátái
Ha = a 1 i + a 2 j és = b 1 i + b 2 j , akkor
= ( a 1 b 1 ) i + ( a 2 b 2 ) j ,
azaz a különbségvektor megfelelő koordinátáit az egyes vektorok megfelelő koordinátáinak különbségeként kapjuk. (4. ábra)
3. Vektor számszorosának koordinátái
Ha = a 1 i + a 2 j és α valós szám, akkor
α · = ( α · a 1 ) i + ( α · a 2 ) j ,
azaz a vektor α -szorosának koordinátái a koordináták α -szorosai.
A vektorok valós számmal való szorzására érvényesek az alábbi azonosságok:
α · + β · = ( α + β ,
α · ( β · ) = ( α · β ,
α · ( + ) = α · + α · .
4. Vektor ellentettjének koordinátái
Az ( a 1 ; a 2 ) vektor ellentettje a (– a 1 ; – a 2 ) vektor, azaz az ellentett vektor koordinátái az eredeti vektor koordinátáinak –1 -szeresei. (5. ábra)
5. Két vektor skaláris szorzata
Az és vektorok skaláris szorzata
skaláris szorzat
· = | | · | | · cos α ,
ahol α a vektorok közös kezdőpontú reprezentánsai által bezárt szög nagysága (0°a180°) .
6. A skaláris szorzat koordinátákkal kifejezve
Ha = a 1 i + a 2 j és = b 1 i + b 2 j , akkor
· = a 1 b 1 + a 2 b 2 ,
azaz a két vektor skaláris szorzata a megfelelő koordináták szorzatának összege.
Kosárba helyezve!