Sokszínű matematika 11.

Az alábbi tartalmat jelenleg INGYENES hozzáféréssel tekinted meg.
Amennyiben szeretnél teljes hozzáférést az oldalhoz, kérjük, regisztrálj, jelentkezz be, és vásárold meg a szükséges elektronikus licencet vagy írd be a nyomtatott könyv hátuljában található kódot!
2. Két pont távolsága. Két vektor hajlásszöge
1. példa
Számítsuk ki az A (–2; 3) és B (1; 7) pontok távolságát.
Megoldás
Mivel az A és B pontok távolsága megegyezik az hosszával, ezért a megoldást visszavezetjük a vektor abszolútértékének meghatározására. Jelölje az A pont, a B pont helyvektorát (6. ábra) .
Mivel = , = –2 i + 3 j , = i + 7 j , ezért
= (1 – (–2)) i + (7 – 3) j = 3 i + 4 j .
Így | | =
A példa megoldásának módszere általánosítható, így érvényes a következő tétel:
Tétel: Az A ( a 1 ; a 2 ) és B ( b 1 ; b 2 ) pontok távolsága
AB =
Bizonyítás
Az A pont helyvektora ( a 1 ; a 2 ) ,
a B pont helyvektora ( b 1 ; b 2 ) .
= = ( b 1 a 1 ) i + ( b 2 a 2 ) j ,
így a vektor abszolútértékére vonatkozó képlet alapján
AB = | | =
2. példa
Egy szabályos háromszög két csúcsa A (–3; 5) , B (–4; 7) . Számítsuk ki a háromszög oldalának és magasságának hosszát, valamint a területét.
Megoldás
Jelölje a a háromszög oldalának hosszát. Az előző tétel alapján
Tudjuk korábbról, hogy az a oldalhosszúságú szabályos háromszög magassága , területe (7. ábra) . Az a -ra kapott értéket behelyettesítve ezekbe az össze­függésekbe kapjuk, hogy
A nullvektortól különböző
( a 1 ; a 2 ) és ( b 1 ; b 2 ) vektorok által bezárt ϕ (0°ϕ180°) szögre nézve:
3. példa
Mekkora szöget zárnak be egymással az (4; 6) és (7; –1) vektorok?
Megoldás
Ilyen jellegű kérdéssel a trigonometria tanulmányozása során már találkoztunk. A hajlásszög meghatározásához a két vektor skaláris szorzatának kétféle felírását, a definíciót és a koordinátákkal kifejezett alakot használjuk fel.
Ha ϕ jelöli a két vektor által bezárt szöget (8. ábra) , akkor egyrészt
· = | |·| | · cos ϕ = · cos ϕ =
= · cos ϕ = · cos ϕ ,
másrészt
· = 4 · 7 + 6 · (–1) = 22 .
A két eredményt összevetve és cos ϕ -t kifejezve kapjuk:
4. példa
Számítsuk ki az A (–2; 2) , B (3; 3) , C (8; –2) pontok által meghatározott háromszög területét.
Megoldás
Jelölje a háromszög A csúcsánál levő belső szöget a (9. ábra) . A háromszög területe felírható az ismert képlet segítségével:
A terület kiszámításához az AB és AC oldalak hosszát, illetve sin α -t kell meghatároznunk.
α az és vektorok által bezárt szög, így cos α meghatározható a két vektor skaláris szorzatának segítségével.
Mivel (5; 1) és (10; –4) , ezért
Mivel α a háromszög egyik belső szöge, ezért sin α > 0 , így
Így az ABC háromszög területe
Kosárba helyezve!