Sokszínű matematika 11.

3. Szakasz osztópontjának koordinátái.
    A háromszög súlypontjának koordinátái
Szakasz felezőpontjának koordinátái
10. ábra

10. ábra

10. osztályban meghatároztuk egy adott szakasz felezőpontjának helyvektorát tetszőleges vonatkoztatási pontra nézve a szakasz két végpontjának helyvektora segítségével. Most meg fogjuk adni egy adott szakasz felezőpontjának koordinátáit a derékszögű koordináta-rendszerben a végpontok koordinátái segítségével.
Adott az A ( a 1 ; a 2 ) és B ( b 1 ; b 2 ) pontok által meghatározott szakasz (10. ábra) . Legyen a szakasz felezőpontja F ( x ; y ) . Célunk az x és y koordináták meghatározása az A és B pontok koordinátáinak segítségével.
Ha az A , B és F pontok helyvektorai rendre , és , akkor a vektorok összegzésének paralelogramma szabálya alapján – felhasználva, hogy a paralelogramma átlói felezik egymást – adódik, hogy
Vektorok összegének és vektor számszorosának koordinátáira vonatkozó összefüggések alapján
azaz a felezőpont koordinátái a végpontok megfelelő koordinátáinak számtani közepeként adódnak.
1. példa
Egy paralelogramma átlóinak metszéspontja az M (2; 3) pont, két szomszédos csúcsa A (0; 5) és B (–1; 1) . Számítsuk ki a másik két csúcs koordinátáit.
Megoldás
11. ábra

11. ábra

Mivel a paralelogramma átlói felezik egymást, ezért M egyaránt felezi az AC és BD szakaszokat (11. ábra) .
Így
és , ahonnan c 1 = 4 és c 2 = 1 .
Hasonlóan:
és , így d 1 = 5 és d 2 = 5 .
Kaptuk tehát, hogy a paralelogramma hiányzó két csúcsa:
C (4; 1) , D (5; 5) .
Szakasz harmadolópontjának koordinátái
Legyenek adottak az A ( a 1 ; a 2 ) és B ( b 1 ; b 2 ) pontok, és adjuk meg az AB szakasz A -hoz közelebbi H 1 ( x 1 ; y 1 ) harmadolópontjának koordinátáit a végpontok koordinátáinak segítségével.
Ha az A , B és H 1 pontok helyvektorai rendre , és 1 (12. ábra) , akkor
12. ábra

12. ábra

Viszont így
A koordinátákra nézve tehát
Hasonló módon bizonyítható, hogy az AB szakasz B -hez közelebbi H 2 ( x 2 ; y 2 ) harmadolópontjának koordinátái
2. példa
Számítsuk ki az A (4; –1) és B (–2; 6) pontok által meghatározott szakasz P ( x ; y ) pontjának koordinátáit, ha AP = 2 · PB .
Megoldás
A feltételből adódik, hogy P az AB szakasz B -hez közelebbi harmadolópontja. Ekkor a fenti összefüggéseket figyelembe véve
P illeszkedik az y tengelyre, és második koordinátája
(ordinátája) 11 .
Szakaszt adott arányban osztó pont koordinátái
Most az A ( a 1 ; a 2 ) és B ( b 1 ; b 2 ) pontok által meghatározott szakasz azon R ( x ; y ) pontjának koordinátáit keressük, amelyre
AR : RB = p : q . A harmadolópont koordinátáinak meghatározásakor alkalmazott módszert alkalmazhatjuk ebben az általános esetben is.
Legyenek az A , B és R pontok helyvektorai rendre , és (13. ábra) .
Mivel ezért
13. ábra

13. ábra

Ezt felhasználva az R pont helyvektorára kapjuk:
Így az R pont koordinátáira
Megjegyzések:
1.
Ha p = q = 1 , akkor a felezőpont koordinátáit kapjuk.
Ha p = 1 , q = 2 vagy p = 2 , q = 1 , akkor a harmadolópontok koordinátái adódnak a fenti általános összefüggésekből.
2.
A fenti eredmények közvetlen következménye, hogy az AB szakasz egy tetszőleges R pontjának helyvektora a vég­pontokba mutató és vektorok segítségével ( és lineáris kombinációjaként) előáll = α · + β · alakban, ahol α és β olyan nemnegatív valós számok, amelyekre α + β = 1 .
Ekkor ha R belső pont:
Ha R = A , akkor β = 0 , α = 1 , ha R = B , akkor α = 0 , β = 1 .
3. példa
Számítsuk ki az A (–4; 2) és B (3; –6) pontok által meghatározott szakasz azon P ( x ; y ) pontjának koordinátáit, amelyre teljesül, hogy AP : PB = 2 : 3 .
Megoldás
A feltételből adódik, hogy és . Így
Tehát a pontra teljesül a feladat feltétele.
A háromszög súlypontjának koordinátái
A háromszög súlypontjának helyvektorát tetszőleges vonatkozta­tási pontra nézve 10. osztályban a csúcsokba mutató hely­vektorok segítségével adtuk meg. Most az ott alkalmazott eljárás felelevenítésével megadjuk a koordináta-rendszerben a súlypont koordinátáit a csúcsok koordinátáival kifejezve.
Legyenek az ABC háromszög A ( a 1 ; a 2 ) , B ( b 1 ; b 2 ) és C ( c 1 ; c 2 ) csúcsainak helyvektorai rendre , és (14. ábra) .
14. ábra

14. ábra

Ha F az AB szakasz felezőpontja, akkor az F pont helyvektora
Ha a CF szakasz F -hez közelebbi S harmadolópontjának helyvektora , akkor
Mivel a fenti kifejezés független attól, hogy melyik oldal megfelelő felezőpontjából indulunk ki, ezért mindhárom súlyvonalnak a megfelelő csúcstól távolabbi harmadolópontja ugyanaz az S pont. Ezzel bebizonyítottuk azt is, hogy a háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. (Ez a bizonyítás a 10. osztályos tankönyvben is megtalálható.)
A fenti vektoros előállításból adódik, hogy az S ( x ; y ) súlypont koordinátái
azaz a háromszög súlypontjának koordinátái a csúcsok megfelelő koordinátáinak számtani közepeként adódnak.
4. példa
Egy háromszög két csúcsa A (–2; –3) , B (1; 8) . Számítsuk ki a harmadik csúcs koordinátáit, ha a súlypont S (4; 1) .
Megoldás
Ha a háromszög harmadik csúcsa C ( x ; y ) , akkor
ahonnan x = 13 , és
ahonnan y = –2 .
A háromszög harmadik csúcsa tehát C (13; –2) .
Kosárba helyezve!