Sokszínű matematika 11.

Az alábbi tartalmat jelenleg INGYENES hozzáféréssel tekinted meg.
Amennyiben szeretnél teljes hozzáférést az oldalhoz, kérlek, regisztrálj, jelentkezz be, és vásárold meg a szükséges elektronikus licencet vagy írd be a nyomtatott könyv hátuljában található kódot!
4. Az egyenest meghatározó adatok a koordináta-rendszerben
Bizonyos feltételekkel rendelkező pontokat már meg tudunk határozni a koordináta-rendszerben:
ha adottak egy szakasz két végpontjának koordinátái, akkor ki tudjuk számolni tetszőleges arányú osztópontjának koordinátáit, és meg tudjuk határozni a szakasz hosszát is;
ha ismerjük egy háromszög csúcspontjainak koordinátáit, meg tudjuk határozni a súlypont koordinátáit.
A következőkben az egyenesek megadása, jellemzése a célunk. Vizsgálódásaink eredményeképpen a sík minden egyes egyeneséhez hozzá tudunk majd rendelni egy olyan kétismeretlenes egyenletet, amelyet az egyenes pontjainak koordinátái, és csak azok elégítenek ki.
Egy egyenest a síkon egyértelműen meghatározza
(1)
 egy pontja és az iránya,
(2)
 két pontja.
Az egyenes irányát a síkon többféleképpen megadhatjuk. Két természetesen adódó lehetőség:
(1)
 megadunk egy vele párhuzamos egyenest,
(2)
 megadunk egy rá merőleges egyenest.
A továbbiakban azt vizsgáljuk, hogy az egyenes irányát milyen számszerű jellemzőkkel adhatjuk meg a koordináta-rendszerben.

irányvektor
15. ábra

15. ábra

Az egyenes irányvektora
Definíció: Egy egyenes irányvektora bármely, az egyenessel párhuzamos, nullvektortól különböző vektor (15. ábra). Jele: ( v 1 ; v 2 ) .
A definíció kapcsán emlékeztetünk arra, hogy egy nullvektortól különböző vektor pontosan akkor párhuzamos egy egyenessel, ha a vektort reprezentáló irányított szakasz egyenese párhuzamos az egyenessel.
A definícióból következik, hogy ha az e egyenesnek irányvektora, akkor bármely 0 -tól különböző λ valós szám esetén λ · is irányvektora e -nek (16. ábra) .

16. ábra

16. ábra

1. példa
Az e egyenes illeszkedik a P 0 (4; –1) pontra, egy irányvektora
(2; 4) . Számítsuk ki az e egyenes azon P pontjának második koordinátáját, amelynek első koordinátája 7 .
Megoldás
17. ábra

17. ábra

Jelölje a P pont második koordinátáját y . A feltételek szerint a vektor párhuzamos -vel, azaz van olyan λ valós szám, hogy λ · = (17. ábra) .
Mivel = (7 – 4) i + ( y + 1) j = 3 i + ( y + 1) j , ezért a koordiná­tákra felírva a fenti vektorok közötti egyenlőséget
λ · 2 = 3 , és λ · 4 = y + 1 .
Az első egyenletből így a második egyenlet ahonnan y = 5 .
2. példa
Egy egyenes két pontja P 1 (–2; 5) és P 2 (4; 1) . Adjuk meg ennek az egyenesnek egy irányvektorát.
Megoldás
18. ábra

18. ábra

A az egyenessel párhuzamos és nullvektortól különböző vektor, ezért a definíció értelmében egy megfelelő irányvektor (18. ábra) .
Mivel = (4 –(–2)) i + (1 – 5) j = 6 i – 4 j , ezért (6; –4) egy lehetséges megoldás.
A 2. példa alapján általánosíthatunk.
Ha az e egyenes két különböző pontja P 1 ( x 1 ; y 1 ) és
P 2 ( x 2 ; y 2 ) , akkor e egy irányvektora ( x 2 x 1 ; y 2 y 1 ) .
Megjegyzés: Konkrét számításoknál érdemes olyan irányvektort választani, amelynek koordinátáival a lehető legegyszerűbb módon tudunk számolni. Így például az előző példa megoldásaként kapott helyett a is megfelelő a definíció alapján, ahol (3; –2) .
Az egyenes normálvektora
19. ábra

19. ábra

normálvektor
Definíció: A síkban egy egyenes normálvektora bármely, az egyenesre merőleges, nullvektortól különböző vektor (19. ábra).
Jele: ( A; B ) .
Itt is emlékeztetünk arra, hogy egy nullvektortól különböző vektor pontosan akkor merőleges egy egyenesre, ha a vektort reprezentáló irányított szakasz egyenese merőleges az egyenesre.
A definícióból most is következik, hogy ha normálvektora az e egyenesnek, akkor bármely 0 -tól különböző λ valós szám esetén λ · is normálvektora e -nek (20. ábra) .
20. ábra

20. ábra

3. példa
Az e egyenes illeszkedik a P 0 (3; 4) pontra, egy normálvektora
(–2; 5) . Számítsuk ki az egyenes azon P pontjának első koordinátáját, amelynek második koordinátája 7 .
Megoldás
A megoldás során felhasználunk egy korábban már bizonyított tételt:
· = 0
Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor 0 , ha a két vektor merőleges egymásra.
A P pont akkor és csak akkor illeszkedik e -re, ha a és vektorok merőlegesek egymásra. Ha x jelöli a P pont első koordinátáját, akkor
= ( x – 3) i + (7 – 4) j = ( x – 3) i + 3 j .
A két vektor skaláris szorzatát a koordinátákkal felírva
· = ( x – 3) · (–2) + 3 · 5 = –2 x + 21 = 0 ,
ahonnan x = = 10,5 .
4. példa
Adjuk meg a P 1 (3; –4) és P 2 (–2; 6) pontok által meghatározott egyenes egy normálvektorát.
Megoldás
Ha ( A ; B ) az egyenes egy normálvektora, akkor az és vektorok merőlegesek egymásra. Ebből viszont következik, hogy skaláris szorzatuk 0 . Mivel
= (–2 – 3) i + (6 – (–4)) j = –5 i + 10 j ,
ezért a skaláris szorzatot a koordinátákkal felírva
· = –5 A + 10 B = 0 .
Látható, hogy A és B közül az egyiket szabadon választhatjuk, a másik viszont egy adott választásnál már egyértelműen meghatározott. A szimmetriát figyelembe véve például az A = 10 , B = 5 választás megfelelő. A tekintett egyenes egy normálvektora tehát (10; 5) .
Megjegyzés: A konkrét számítások egyszerűsítése végett az egyenes normálvektorai közül is érdemes azt kiválasztani, amelynek a koordinátáival a legkönnyebben tudunk számolni. Így a 4. példában az (2; 1) is megfelelő normálvektor, és számításoknál könnyebben kezelhető.
A 4. példa egyenesének egy irányvektora a = –5 i + 10 j , egy normálvektora az = 10 i + 5 j . Észrevehető, hogy ezen két egymásra merőleges vektor abszolútértéke megegyezik, és egyikből a másik úgy kapható, hogy a koordinátákat felcseréljük és az egyiket ellentettjére változtatjuk.
A konkrét példa kapcsán tett észrevételünk általánosan is igaz:
Ha az e egyenes egy irányvektora ( v 1 ; v 2 ) , akkor az
( v 2 ; v 1 ) , illetve az (– v 2 ; v 1 ) vektorok az
e normálvektorai.
Az egyenes irányszöge és iránytangense
A síkbeli koordináta-rendszerben lehetőségünk van arra is, hogy egy egyenes irányát valamelyik tengellyel bezárt előjeles szöge, illetve annak valamelyik szögfüggvénye segítségével adjuk meg.
irányszög
21. ábra

21. ábra

Definíció: A síkbeli koordináta-rendszerben egy egyenes irányszöge az egyenes és az x tengely pozitív félegyenese (pozitív iránya) által bezárt előjeles szög (21. ábra).
Az α irányszögre nézve , és α pozitív, illetve negatív aszerint, hogy az x tengelyt pozitív, illetve negatív irányban kell elforgatnunk az origó körül a megengedett intervallumba eső szöggel ahhoz, hogy elforgatott képe az egyenessel párhuzamos legyen.
Az y tengely irányszöge
Konkrét számításoknál az egyenes irányát gyakran nem az irányszögével, hanem (ha létezik) az irányszög tangensével jellemezzük.
iránytangens: m = tg α
Definíció: Egy egyenes irányszögének tangensét (ha létezik) az egyenes iránytangensének vagy meredekségének nevezzük.
Az α irányszögű egyenes iránytangense m = tg α .
Az irányszög definíciójából következik, hogy az y tengellyel párhuzamos egyeneseknek nem létezik iránytangensük, az x tengellyel párhuzamos egyenesek iránytangense pedig 0 .
22. ábra

22. ábra

5. példa
Számítsuk ki a P 1 (–5; 1) és P 2 (1; 6) pontok által meghatározott egyenes iránytangensét és irányszögét.
Megoldás
A 22. ábrán a P 1 QP 2 derékszögű háromszögben α = P 2 P 1 Q ∢ az egyenes irányszöge.
Mivel P 2 Q = 6 – 1 = 5 és P 1 Q = 1 – (–5) = 6 , ezért
m = tg α = és így α39,81° .
23. ábra

23. ábra

24. ábra

24. ábra

Az iránytangens meghatározására alkalmazott módszer bármely, két pontjával adott, y tengellyel nem párhuzamos egyenes esetén alkalmazható.
Ha az e egyenes két különböző pontja P 1 ( x 1 ; y 1 ) és
P 2 ( x 2 ; y 2 ) , ahol x 1 x 2 , akkor az e iránytangense:
(23. ábra)


Az eddigiekből következik, hogy az egyenes iránytangense az irányvektor és a normálvektor koordinátáival is kifejezhető.
Ha az e egyenes egy irányvektora ( v 1 ; v 2 ) , egy normálvektora ( A ; B ) ; és v 1 0 , illetve B 0 , akkor az e iránytangense:
(24. ábra)


A fenti összefüggések egy következménye:
Ha az e egyenes iránytangense m , akkor a (1; m ) egy irányvektora, az ( m ; –1) (vagy (– m ; 1)) egy normálvektora e -nek.
6. példa
A koordináta-rendszerben az e egyenes egy irányvektora
(–3; 1) . Adjuk meg az egyenes egy normálvektorát, iránytangensét és irányszögét.
Megoldás
A fenti összefüggések alapján e egy normálvektora (1; 3) , iránytangense m = irányszöge a ≈ –18,43° .
Két egyenes párhuzamosságának illetve merőlegességének feltételei
25. ábra

25. ábra

I. Tegyük fel, hogy az e 1 és e 2 egyenesek párhuzamosak (25. ábra) és létezik az iránytangensük (irányszögük -től különböző).
Legyen az e 1 irányszöge α 1 , iránytangense m 1 , egy irányvektora 1 , egy normálvektora 1 . Az e 2 megfelelő irányjellemzői α 2 , m 2 , 2 , 2 .
Látható, hogy ekkor
α 1 = α 2 , és így m 1 = m 2 ,
valamint vannak olyan 0 -tól különböző λ és μ valós számok, hogy
1 = λ · 2 és 1 = μ · 2 .
e 1e 2m 1 = m 2
Könnyen bizonyítható, hogy ha a fenti irányjellemzőkre adott feltételek közül valamelyik teljesül, akkor a két egyenes párhuzamos, tehát ezen négy feltétel bármelyike szükséges és elegendő két, az y tengellyel nem párhuzamos egyenes párhuzamosságához.
26. ábra

26. ábra

II. Tegyük fel, hogy az e 1 és e 2 egyenesek merőlegesek (26. ábra) és nem párhuzamosak a koordinátatengelyekkel.
Ha az e 1 irányjellemzői α 1 , m 1 , 1 ( v 1 ’; v 2 ) , 1 ( A 1 ; B 1 ) , az e 2 egyenesé α 2 , m 2 , 2 ( v 1 ; v 2 ”) , 2 ( A 2 ; B 2 ) , akkor az irányszögek -vel térnek el egymástól, a két irányvektor, illetve a két normálvektor skaláris szorzata pedig 0 , azaz
1 · 2 = 0 és 1 · 2 = 0 .
Az irányvektorok skaláris szorzatát koordinátákkal felírva
v 1 · v 1 + v 2 · v 2 = 0 ,
ahonnan
Felhasználva, hogy egy egyenes iránytangensét (ha van) az egyenes egy irányvektorából a koordináták megfelelő hányadosaként kapjuk, adódik, hogy
vagy másképpen m 1 · m 2 = –1 .
e 1e 2
Gondolatmenetünk megfordítható, ezért két, a koordinátaten­gelyekkel nem párhuzamos egyenes akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha iránytangenseik szorzata –1 .
Konkrét számítási feladatokban sokszor fel fogjuk használni, hogy egy adott egyenes irányvektora bármely rá merőleges egyenesnek normálvektora, míg az adott egyenes normálvektora bármely rá merőleges egyenesnek irányvektora. Ez jelen esetben azt jelenti, hogy e 1 egy irányvektora 2 , egy normálvektora 2 , míg e 2 egy irányvektora 1 , egy normálvektora pedig 1 .
7. példa
Az f és g egyenesek merőlegesek egymásra. Az f egyenes egy normálvektora (2; 1) . Számítsuk ki a g egyenes iránytangensét, és adjuk meg egy irányvektorát és egy normálvektorát.
Megoldás
Az f egyenes adott normálvektora g -nek egy irányvektora:
g (2; 1) .
Ebből g iránytangense m g = , egy normálvektora pedig
g (–1; 2) .
Kosárba helyezve!