Sokszínű matematika 11.

Az alábbi tartalmat jelenleg INGYENES hozzáféréssel tekinted meg.
Amennyiben szeretnél teljes hozzáférést az oldalhoz, kérjük, regisztrálj, jelentkezz be, és vásárold meg a szükséges elektronikus licencet vagy írd be a nyomtatott könyv hátuljában található kódot!
5. Az egyenes egyenlete I.
Az előzőekben láttuk, hogy az egyenest egyértelműen meghatározza a koordináta-rendszerben
(1)
 egy pontja és egy irányvektora;
(2)
 egy pontja és egy normálvektora;
(3)
 egy pontja és az irányszöge;
(4)
 egy pontja és iránytangense (ha létezik);
(5)
 két pontja.
Célunk a továbbiakban az, hogy olyan összefüggést keressünk az egyenes pontjainak koordinátái között, amely összefüggés az egyenes összes pontjára érvényes, az egyenesre nem illeszkedő pontokra viszont nem érvényes.
27. ábra

27. ábra

1. példa
Az e egyenes egy pontja P 0 (2; 1) egy normálvektora (5; 2) . Milyen összefüggés van a P ( x ; y ) pont koordinátái között, ha P illeszkedik az egyenesre?
Megoldás
A normálvektor definíciójából adódik, hogy a P pont akkor és csak akkor pontja az e egyenesnek, ha a és az vektorok merőlegesek egymásra (27. ábra) , ez pedig pontosan akkor teljesül, ha skaláris szorzatuk 0 .
Ha 0 a P 0 , pedig a P pont helyvektora, akkor
= 0 .
A két vektor skaláris szorzatát koordinátákkal kifejezve
· = · ( 0 ) = 5 · ( x – 2) + 2 · ( y – 1) = 0 , ahonnan 5 x + 2 y = 12 .
Ezt az egyenletet az e egyenes összes pontjának koordinátái kielégítik, más pontok koordinátái viszont nem elégítik ki. A kívánt összefüggést tehát megkaptuk.
alakzat egyenlete

28. ábra

28. ábra

Definíció: Egy, a síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben elhelyezkedő alakzat egyenlete egy olyan kétismeretlenes egyenlet, amelyet az alakzat P ( x ; y ) pontjainak koordinátái kielégítenek, más pontok koordinátái viszont nem elégítenek ki.
Az első példa megoldásának módszere általánosítható:
Adott az e egyenes P 0 ( x 0 ; y 0 ) pontja és ( A ; B ) normálvektora. A P ( x ; y ) pont akkor és csak akkor illeszkedik az e egyenesre, ha
· = 0 .
A rögzített P 0 pont helyvektorát jelölje 0 , a tetszőleges P pont (futópont) helyvektorát jelölje (28. ábra) .
Ezzel a jelöléssel
vektoregyenlet
· ( 0 ) = 0 .
Ez az egyenes vektoregyenlete.
Koordinátákkal kifejezve
· ( 0 ) = A · ( x x 0 ) + B · ( y y 0 ) = 0 ,
ahonnan
normálvektoros alak
Ax + By = Ax 0 + By 0 .
A kapott összefüggés az ( A ; B ) normálvektorával és
P 0 ( x 0 ; y 0 ) pontjával adott egyenes egyenlete, vagy másképpen az egyenes egyenletének normálvektoros alakja .
2. példa
A g egyenes egy pontja P 0 (3; –4) , egy normálvektora (–1; 1) . Írjuk fel az egyenes egyenletét, és határozzuk meg g -nek a koordinátatengelyekkel vett metszéspontjait.
Megoldás
29. ábra

29. ábra

Mivel A = –1 , B = 1 , x 0 = 3 , y 0 = –4 , ezért a g egyenes egyenlete:
x + y = (–1) · 3 + 1 · (–4) = –7 ,
azaz
x + y = –7 .
Az x tengelyt g abban a P pontban metszi, amelynek második koordinátája 0 . Ezt behelyettesítve az egyenletbe adódik, hogy
x = 7 , vagyis g az x tengelyt a P (7; 0) pontban metszi.
A g egyenes y tengelyre illeszkedő Q pontjának első koordinátája 0 , második koordinátája pedig adódik az egyenletből: y = –7 . Tehát g az y tengelyt a Q (0; –7) pontban metszi (29. ábra) .
3. példa
Az f egyenes egyenlete 6 y – 3 x + 12 = 0 . Adjuk meg az egyenes egy normálvektorát, egy irányvektorát, iránytangensét, és azon P pontjának első koordinátáját, amelynek második koordinátája 4 .
Megoldás
Először hozzuk az egyenletet olyan alakra, amelyből egy normálvektor koordinátái leolvashatók.
–3 x + 6 y = –12 .
Összevetve ezt az általános alakkal, látható, hogy az 1 (–3; 6) f -nek egy normálvektora. Egy korábbi megjegyzésünk alapján az 2 (–1; 2) is normálvektora f -nek, amit úgy is megkaphatunk, ha az egyenlet mindkét oldalát osztjuk 3-mal:
x + 2 y = –4 .
Az egyenes irányjellemzői közötti kapcsolatok alapján (2; 1) egy irányvektora, m = pedig az iránytangense f -nek.
P első koordinátája a x + 2 · 4 = –4 egyenlet megoldása, azaz
x = 12 .
4. példa
Írjuk fel az AB szakasz felező merőlegesének egyenletét, ha A (–2; –1) és B (6; 5) .
Megoldás
30. ábra

30. ábra

Jelölje f AB a kérdéses szakaszfelező merőlegest. Az f AB illeszkedik az AB szakasz F felezőpontjára, és merőleges AB -re (30. ábra) , így az F pont és az mint normálvektor egyértelműen meghatározzák f AB -t.
A szakasz felezőpontjának koordinátáira vonatkozó összefüggés alapján F mindkét koordinátája 2 , és
= (6 – (–2)) i + (5 – (–1)) j = 8 i + 6 j .
Az egyenlet felírásához a könnyebb számolás végett érdemes az felét, az (4; 3) normálvektort venni. Az F (2; 2) pontra illeszkedő, (4; 3) normálvektorú f AB egyenes egyenlete az általános alakba történő behelyettesítéssel
4 x + 3 y = 14 .
Kosárba helyezve!