Sokszínű matematika 11.

Az alábbi tartalmat jelenleg INGYENES hozzáféréssel tekinted meg.
Amennyiben szeretnél teljes hozzáférést az oldalhoz, kérjük, regisztrálj, jelentkezz be, és vásárold meg a szükséges elektronikus licencet vagy írd be a nyomtatott könyv hátuljában található kódot!
6. Az egyenes egyenlete II.
31. ábra

31. ábra

Abban az esetben, mikor az egyenest egy pontja és egy normálvektora határozza meg, közvetlenül fel tudjuk írni az egyenletét. Célunk a továbbiakban az, hogy az egyenes más jellemzőkkel történő megadása esetén is egyszerű behelyettesítéssel megkapjuk az egyenes pontjait leíró egyenletet. Az egyenes egyenletének különböző alakjait az irányjellemzők közötti kapcsolatok felhasználásával állítjuk elő.
Pontjával és irányvektorával adott egyenes egyenlete
Adott az e egyenes P 0 ( x 0 ; y 0 ) pontja és ( v 1 ; v 2 ) irányvektora. Ekkor az e egy normálvektora r( v 2 ; – v 1 ) (31. ábra) .
Ezt az egyenes egyenletének normálvektoros alakjába behelyettesítve ( A = v 2 , B = – v 1 ) kapjuk, hogy
irányvektoros alak
v 2 x v 1 y = v 2 x 0 v 1 y 0 .
Ez a ( v 1 ; v 2 ) irányvektorával és P 0 ( x 0 ; y 0 ) pontjával adott egyenes egyenlete, vagy másképpen az egyenes egyenletének irányvektoros alakja .
1. példa
Írjuk fel a P 0 (–2; 4) pontra illeszkedő, (5; –3) irányvektorú egyenes egyenletét.
Megoldás
Mivel most v 1 = 5 , v 2 = –3 , x 0 = –2 , y 0 = 4 , ezért az egyenes egyenlete
–3 x – 5 y = (–3) · (–2) – 5 · 4 = 6 – 20 = –14 .
Mindkét oldal –1 -szeresét véve 3 x + 5 y = 14 adódik.
Pontjával és iránytangensével adott egyenes egyenlete
Adott az e egyenes P 0 ( x 0 ; y 0 ) pontja és m iránytangense. Ekkor az e egy normálvektora ( m ; –1) . Ezt behelyettesítve a normálvektoros alakba ( A = m , B = –1):
mx y = mx 0 y 0 ,
amiből átrendezéssel
iránytényezős alak
y y 0 = m ( x x 0 ) .
Ez az m iránytangensével és P 0 ( x 0 ; y 0 ) pontjával adott egyenes egyenlete, vagy másképpen az egyenes egyenletének iránytényezős alakja .
Az y tengellyel párhuzamos egyeneseknek nem létezik az iránytangense, ezért ha egy egyenes az x tengelyt a P 0 ( x 0 ; 0) pontban metszi, akkor egyenlete
x = x 0 .
2. példa
Írjuk fel a P 0 (3; –1) ponton átmenő, iránytangensű e egyenes egyenletét. Mi az egyenlete az e -t P 0 -ban merőlegesen metsző g egyenesnek?
Megoldás
32. ábra

32. ábra

Az x 0 = 3 , y 0 = –1 , m = értékeket az iránytényezős egyenletbe helyettesítve adódik e egyenlete: vagy átrendezés és 2 -vel való beszorzás után
x – 2 y = 5 .
g merőleges e -re (32. ábra) , így m’ iránytangensére nézve
g is illeszkedik P 0 -ra, így egyenlete
y + 1 = –2( x – 3) , vagy átrendezve 2 x + y = 5 .
3. példa
Az m iránytangensű egyenes az y tengelyt a P 0 (0; b ) pontban metszi. Írjuk fel az egyenletét.
Megoldás
Az iránytényezős alakba helyettesítve
y b = mx ,
vagy
y = mx + b
y = mx + b .
9. osztályban láttuk, hogy a valós számok halmazán értelmezett lineáris függvény grafikonjának egyenlete y = ax + b alakú, ahol a az egyenes meredeksége, a (0; b ) pont pedig az egyenesnek az y tengellyel vett metszéspontja. Akkor még nem tudtuk bebizonyítani, hogy a lineáris függvények grafikonja egy egyenes, most viszont koordinátageometriai vizsgálódásainkból ez azonnal adódott.
Két pontjával adott egyenes egyenlete
33. ábra

33. ábra

Adott az e egyenes P 1 ( x 1 ; y 1 ) és P 2 ( x 2 ; y 2 ) pontja (33. ábra) . Láttuk korábban, hogy ekkor az e egyenes
egy irányvektora:          egy normálvektora:
( x 2 x 1 ; y 2 y 1 ) ,               ( y 2 y 1 ; x 1 x 2 ) .  
Ezek bármelyikét beírva e egyenletének megfelelő alakjába, olyan egyenletet kapunk, ahol adatként a két adott pont koordinátái szerepelnek csak. Mi most, ahogy eddig is tettük, a normálvektoros alakba helyettesítünk be úgy, hogy P 0 szerepét P 1 veszi át ( e egyenletének így kapott alakja érvényes lesz akkor is, ha párhuzamos az y tengellyel, azaz x 1 = x 2 ):
( y 2 y 1 ) x + ( x 1 x 2 ) y = ( y 2 y 1 ) x 1 + ( x 1 x 2 ) y 1 .
Ezt kicsit átalakítva kapjuk, hogy
az egyenes
két pontjával
meghatározott alak
( y 2 y 1 )·( x x 1 ) = ( x 2 x 1 )·( y y 1 ) .
Ez a P 1 ( x 1 ; y 1 ) és P 2 ( x 2 ; y 2 ) pontokkal adott egyenes egyenlete, vagy másképpen az egyenes egyenletének két pontjával meghatározott alakja .
34. ábra

34. ábra

4. példa
Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely az x tengelyt az A ( a ; 0) , az y tengelyt a B (0; b ) pontban metszi.
Megoldás
A fent levezetett alakban most x 1 = a , y 1 = 0 , x 2 = 0 , y 2 = b , így
b ( x a ) = – ay , ahonnan bx + ay = ab .
Ha a0 és b0 , akkor ab -vel osztva kapjuk, hogy
tengelymetszetes alak
Az egyenes egyenletének utóbbi szép, szimmetrikus alakja olyan egyenesekre érvényes, amelyek nem párhuzamosak egyik koordinátatengellyel sem, és nem illeszkednek az origóra (34. ábra) . Ilyen esetekben ez az egyenes egyenletének tengelymetszetes alakja .
A következőkben röviden összefoglaljuk és rendszerezzük az egyenes egyenletével kapcsolatos tudnivalókat.
egyenes egyenlete
Definíció: A síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben egy egyenes egyenlete olyan kétismeretlenes egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a P ( x ; y ) pontoknak a koordinátái elégítenek ki, amelyek illeszkednek az egyenesre.
Az egyenest meghatározó adatok segítségével felírtuk az egyenes egyenletét, és kaptuk:
Tétel: A síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben az egyenes egyenlete olyan
Ax + By + C = 0
alakú kétismeretlenes lineáris egyenlet, amelyben A és B közül legalább az egyik 0 -tól különböző ( A 2 + B 2 > 0) .
Előző tételünk megfordítása is igaz:
Rögzített A , B és C értékek esetén, ha A és B közül legalább az egyik nem 0 ( A 2 + B 2 > 0) , a fenti egyenlet pontosan egy egyenest állít elő.
Ezen egyenesnek egy normálvektora ( A ; B ) , egy irányvektora ( B ; – A ) , iránytangense pedig ( ha B0) m =
Kosárba helyezve!