Sokszínű matematika 11.

7. Két egyenes metszéspontja, távolsága, hajlásszöge
Két egyenes metszéspontja
1. példa
Számítsuk ki az A (2; –1) pontra illeszkedő (2; 3) normálvektorú és a B (3; 2) pontra illeszkedő iránytangensű egyenesek metszéspontjának koordinátáit.
Megoldás
Először írjuk fel a két egyenes egyenletét. Jelölje a az A pontra, b a B pontra illeszkedő egyenest.
a egyenlete a normálvektoros alak alapján
( A = 2 , B = 3 , x 0 = 2 , y 0 = –1) :
2 x + 3 y = 1 ,
b egyenlete pedig az iránytényezős alakból
( m = , x 0 = 3 , y 0 = 2):
ahonnan x – 4 y = –5 .
35. ábra

35. ábra

A két egyenes metszéspontjának koordinátái mindkét egyenes egyenletét kielégítik, ezért a két egyenes egyenletéből álló kétismeretlenes lineáris egyenletrendszer megoldásai. A metszéspont koordinátáinak meghatározásához meg kell tehát oldanunk az alábbi egyenletrendszert:
Az egyenletrendszer megoldásához alkalmazhatjuk például az egyenlő együtthatók módszerét. Az első egyenletből kivonva a második egyenlet kétszeresét
11 y = 11
adódik, ebből pedig y = 1 . Ezt visszahelyettesítve például a második egyenletbe kapjuk, hogy x = –1 .
Az a és b egyenesek metszéspontja tehát M (–1; 1) (35. ábra) .
36. ábra

36. ábra

Megjegyzés: Lehetséges, hogy két egyenes esetén az egyenleteikből álló egyenletrendszernek nincs megoldása. Ez pontosan akkor fordul elő, amikor a két egyenes párhuzamos és nem esik egybe. Ilyen egyenesek például az e : x – 2 y = 5 és az f : –2 x + 4 y = –2 (36. ábra) .
A párhuzamosságot még a két egyenes egyenletéből álló egyenletrendszer felírása előtt észrevehetjük, ha az egyenletekből leolvassuk az egyenesek valamelyik irányjellemzőjét. Példánk esetén mindkét egyenes iránytangense
Az 1. példában alkalmazott módszer általános érvényű:
Két síkbeli metsző egyenes metszéspontjának koordinátái a két egyenes egyenletéből álló egyenletrendszer megoldásai.
Pont és egyenes távolsága
2. példa
Számítsuk ki az x – 2 y = 4 egyenletű e egyenes és a P (3; 6) pont távolságát.
37. ábra

37. ábra

Megoldás
Pont és egyenes távolsága a pontból az egyenesre állított merőleges talppontjának és a tekintett pontnak a távolsága (37. ábra) .
A PT távolság meghatározásához szükségünk van a T pont koordinátáira. Ezek a P -re illeszkedő, e -re merőleges f egyenes egyenletéből és az e egyenletéből álló egyenletrendszer megoldásaiként adódnak. Így megoldásunk lépései:
I.
 f egyenletének felírása;
II.
 e és f egyenletéből álló egyenletrendszer megoldása, kapjuk
T koordinátáit;
III.
 a PT távolság meghatározása.
I.  e merőleges f -re, így e egy normálvektora f -nek egy irányvektora. e egy normálvektora az egyenletéből leolvasható: e (1; –2) . f egy irányvektora tehát f (1; –2) .
f -nek tehát adott egy pontja ( P ) és egy irányvektora ( f ) , így az egyenes irányvektoros alakjának felhasználásával egyenlete felírható ( v 1 = 1 , v 2 = –2 , x 0 = 3 , y 0 = 6):
–2 x y = (–2) · 3 – 1 · 6 ,
ahonnan összevonás és –1 -gyel történő szorzás után
2 x + y = 12 .
II.  A megoldandó egyenletrendszer:
A második egyenletből kivonva az első egyenlet kétszeresét
5 y = 4
adódik, ahonnan y =
Ezt behelyettesítve az első egyenletbe
Kaptuk, hogy e és f metszéspontja
III. 
A P pont és az e egyenes távolsága tehát ≈ 5,81 .
A 2. példa megoldásának módszere bármely egyenes és rá nem illeszkedő pont távolságának meghatározására alkalmazható.
Megjegyzés: Egy egyenesnek bármely rá illeszkedő ponttól vett távolsága 0 .
Két párhuzamos egyenes távolsága
3. példa
Számítsuk ki a 3 x + 2 y = 12 és a 3 x + 2 y = –6 egyenletű egyenesek távolságát.
I. megoldás (vázlat)
38. ábra

38. ábra

Mivel két párhuzamos egyenes távolsága az egyik egyenes egy tetszőleges pontjának a másik egyenestől vett távolsága, ezért vegyük a 3 x + 2 y = 12 egyenletű e egyenesnek az x tengelyre illeszkedő pontját. Mivel ennek második koordinátája 0 , ezért az egyenes egyenletéből adódik, hogy x = 4 . (38. ábra)
Feladatunk tehát a P (4; 0) pont és a 3 x + 2 y = –6 egyenletű
f egyenes távolságának meghatározása. Ezt a 2. példa megoldási módszerével tehetjük meg.
II. megoldás
Két párhuzamos egyenes távolságát meghatározhatjuk úgy is, hogy veszünk egy mindkettőjükre merőleges egyenest, és a kapott két metszéspont távolságát határozzuk meg. Célszerű olyan merőleges egyenest venni, amelynek egyenlete egyszerű, a párhuzamos egyenesekkel vett metszéspontok számítása viszonylag könnyen megy.
39. ábra

39. ábra

A fentiek értelmében tekintsük az e -t és f -et merőlegesen metsző, origóra illeszkedő g egyenest (39. ábra) .
g egyenlete y = mx alakú, és az m iránytangens e vagy f egyenletéből meghatározható. Így megoldásunk lépései:
I.
 g egyenletének felírása ( m meghatározása);
II.
 eg = M 1 és fg = M 2 koordinátáinak meghatározása;
III.
 az M 1 M 2 távolság kiszámítása.
I. Az e és f egyenesek egy normálvektora (3; 2) . Ez g -nek irányvektora: g(3; 2).
Így g iránytangense m = ( v 1 = 3; v 2 = 2 , m = ) .
g egyenlete tehát
II. M 1 koordinátáinak meghatározásához meg kell oldanunk a
egyenletrendszert. A behelyettesítő módszert alkalmazva kapjuk, hogy
Ezt a második egyenletbe helyettesítve adódik, hogy y = Tehát
M 2 koordinátái hasonlóan adódnak:
y -t az első egyenletbe helyettesítve
A második egyenletből y = . Tehát
III. A megfelelő koordinátákat a távolságképletbe helyettesítve
Az e és f egyenesek távolsága tehát ≈ 4,995 .
Párhuzamos egyenesek távolságának meghatározására a 3. példa mindkét megoldási módszere alkalmazható.
Két egyenes hajlásszöge
két metsző egyenes hajlásszöge
40. ábra

40. ábra

Két síkbeli metsző egyenes négy szögtartományt hoz létre, ezek közül a két-két szemközti egybevágó (csúcsszögek). A létrejövő két szomszédos szög közül a kisebbiket (nem nagyobbikat) nevezzük a két egyenes hajlásszögének (40. ábra) .
4. példa
Határozzuk meg a 2 x – 3 y = 6 és a 4 x + y = 8 egyenletű egyenesek hajlásszögét.
Megoldás
41. ábra

41. ábra

Két nullvektortól különböző vektor által közbezárt szöget meg tudjuk határozni a két vektor skaláris szorzata segítségével. Két egyenes hajlásszöge, vagy annak kiegészítő szöge megegyezik irányvektoraik szögével, így a két egyenes hajlásszögének meghatározásához egy-egy irányvektoruk által közbezárt szöget kell kiszámítani.
Az egyenesek egy-egy irányvektora az egyenletekből leolvasható:
a 2 x – 3 y = 6 egyenletű e egyenes egy irányvektora e (3; 2) ;
a 4 x + y = 8 egyenletű f egyenes egy irányvektora f (–1; 4) (41. ábra) .
A két irányvektor által meghatározott ϕ szög koszinuszára nézve a skaláris szorzat kétféle felírásából
ahonnan ϕ69,3° .
A 4. példa megoldási módszere alkalmazható bármely két egyenes hajlásszögének meghatározására azzal a megjegyzéssel, hogy ha cos ϕ < 0 (a két irányvektor tompaszöget zár be), akkor a két egyenes hajlásszöge 180° – ϕ .
Kosárba helyezve!