Sokszínű matematika 11.

9. A kör és az egyenes kölcsönös
    helyzete; két kör közös pontjai
A kör és az egyenes kölcsönös helyzete
A síkon egy kör és egy egyenes egymáshoz viszonyítva háromféleképpen helyezkedhet el (47. ábra) :
nincs közös pontjuk;
egy közös pontjuk van (az egyenes érinti a kört);
két közös pontjuk van.

47. ábra

47. ábra

1. példa
Adjuk meg azokat az origóra illeszkedő egyeneseket, amelyeknek az ( x – 2) 2 + ( y – 3) 2 = 3 egyenletű körrel
a)
0 ;
b)
1 ;
c)
2 közös pontja van.
Megoldás
48. ábra

48. ábra

Az origóra illeszkedő egyenesek egyenlete az y tengely kivételével y = mx alakú. (Mivel az y tengely egyenlete x = 0 , és ebben az esetben a kör egyenletének bal oldalán álló kifejezés 4 -nél nem kisebb, ezért az y tengelynek nincs olyan pontja, amelyik illeszkedne a körre (48. ábra) )
Egy ilyen egyenes és a kör közös pontjainak koordinátái kielégítik mind a kör, mind az egyenes egyenletét, így a feladat kérdése az algebra nyelvére lefordítva a következő:
Az m paraméter mely valós értékei esetén lesz az
              (1)                
másodfokú paraméteres egyenletrendszernek a) 0 ; b) 1 ; c) 2 rendezett valós számpár megoldása?
A második egyenletet helyettesítsük az elsőbe:
( x – 2) 2 + ( mx – 3) 2 = 3 .
Elvégezve a négyzetre emeléseket, x hatványai szerint rendezve és 0 -ra redukálva kapjuk:
( m 2 + 1) x 2 – 2 · (3 m + 2) x + 10 = 0 .         (2)                
Ennek a paraméteres másodfokú egyenletnek aszerint van 0 , 1 vagy 2 valós megoldása, hogy a diszkriminánsa negatív, 0 vagy pozitív. Vizsgáljuk tehát az egyenlet diszkriminánsát.
D = [–2 · (3 m + 2)] 2 – 4 · ( m 2 + 1) · 10 =
= 4 · [(3 m + 2) 2 – 10 · ( m 2 + 1)] .
D előjelét a szögletes zárójelben álló, m -re nézve másodfokú kifejezés határozza meg. Ezt alakítva:
(3 m + 2) 2 – 10 · ( m 2 + 1) = 9 m 2 + 12 m + 4 – 10 m 2 – 10 = – m 2 + 12 m – 6 .
Előbb határozzuk meg, hogy mikor lesz a diszkrimináns 0 . Ehhez a
m 2 + 12 m – 6 = 0
másodfokú egyenletet kell megoldani. A megoldóképletbe történő helyettesítés után kapjuk, hogy
m 1 = 6 + 11,48 és m 2 = 6 – 0,52 .
49. ábra

49. ábra

Ebben a két esetben a fenti egyenletrendszernek egy rendezett valós számpár megoldása van, ami geometriailag azt jelenti, hogy az
egyenletű egyenesek a kör origóra illeszkedő érintői. Ezzel a példa b) részére megadtuk a választ.
A körnek és az egyenesnek pontosan akkor nincs közös pontja, ha az (1) egyenletrendszernek nincs valós megoldása. Ez viszont pontosan akkor teljesül, ha az x -re kapott (2) paraméteres egyenletnek a diszkriminánsa negatív. Ez ekvivalens azzal, hogy
m 2 + 12 m – 6 < 0 .
Mivel a bal oldalon álló, m -ben másodfokú kifejezés főegyütthatója negatív, ezért a kifejezés értéke pontosan akkor negatív, ha
m < 6 – vagy 6 + < m (49. ábra) . (3)                
50. ábra

50. ábra

Azon origóra illeszkedő egyeneseknek tehát, amelyeknek iránytangense a (3) egyenlőtlenségek valamelyikét kielégíti, nincs közös pontja a körrel (50. ábra) . (Már utaltunk rá, hogy az y tengelynek sincs közös pontja a körrel.) Ez a válasz a példa a) kérdésére.
A kört az egyenes pontosan akkor metszi két pontban, ha az (1) egyenletrendszernek két különböző rendezett valós számpár megoldása van. Ez pontosan akkor teljesül, ha a (2) egyenlet diszkriminánsa pozitív, azaz
m 2 + 12 m – 6 > 0 .
A 49. ábráról leolvasható, hogy ez akkor és csak akkor teljesül, ha
6 – < m < 6 + .         (4)                
A körrel tehát két közös pontja van azoknak az origóra illeszkedő egyeneseknek, amelyek iránytangense kielégíti a (4) egyenlőtlenséget. Ezzel a c) kérdésre is választ adtunk.
Általánosítás
Az ( x u) 2 + ( y v ) 2 = r 2 egyenletű kör és az y = mx + b egyenes közös pontjainak koordinátái az
egyenletrendszer megoldásai. A második egyenletnek az elsőbe történő helyettesítése (az egyik ismeretlen kiküszöbölése) után kapott egyismeretlenes másodfokú egyenlet diszkriminánsa határozza meg a közös pontok számát:
ha a diszkrimináns pozitív, akkor az egyenes két pontban metszi a kört;
ha a diszkrimináns 0 , az egyenes érinti a kört;
ha a diszkrimináns negatív, akkor az egyenesnek és a körnek nincs közös pontja.
51. ábra

51. ábra

2. példa
Számítsuk ki annak a K (–3; 4) középpontú körnek a sugarát, amelyik érinti az x + 2 y = –5 egyenletű egyenest. Adjuk meg az érintési pont koordinátáit.
I. megoldás
A keresett körnek és az adott egyenesnek egy közös pontja van (51. ábra) , ami algebrailag azt jelenti, hogy az
egyenletrendszernek egy rendezett valós számpár (az érintési pont koordinátái) megoldása van.
A második egyenletből x = –2 y –5 . Ezt az első egyenletbe helyettesítve
(–2 y – 2) 2 + ( y – 4) 2 = r 2 ,
ami átalakítások után
5 y 2 + 20 – r 2 = 0 .
Ennek a hiányos másodfokú egyenletnek pontosan akkor van egy megoldása, ha r 2 = 20 , azaz Ekkor
y = 0 és x = –5 .
A keresett sugár: az érintési pont: E (–5; 0) .
II. megoldás
Az előző megoldás során a problémát algebrailag közelítettük meg, most geometriai megfontolások alapján dolgozunk.
Az E érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre, így a KE egyenes egyenlete felírható az érintő egyenletének ismeretében. Az érintő egy normálvektora (1; 2) . Ez irányvektora a KE egyenesnek, így KE egyenlete felírható:
E az érintő és a KE egyenes metszéspontja, így koordinátái az
egyenletrendszer megoldásaként adódnak. Megoldva az egyenletrendszert kapjuk, hogy az érintési pont: E (–5; 0) . Így a kör sugara:
Két kör metszéspontjai
A síkon két kör (körvonal) közös pontjainak a száma lehet 0 , 1 vagy 2 (52. ábra) . A két egyenes, illetve a kör és egyenes esetéhez hasonlóan algebrailag a közös pontok száma most is attól függ, hogy a két kör egyenletéből álló egyenletrendszernek hány rendezett valós számpár megoldása van.
52. ábra

52. ábra

3. példa
Számítsuk ki az ( x – 2) 2 + y 2 = 20 egyenletű k 1 és az
( x + 7) 2 + ( y +3) 2 = 50 egyenletű k 2 kör metszéspontjainak koordinátáit.
Megoldás
A két kör közös pontjainak koordinátái mindkét egyenletet kielégítik, ezért megoldásai az alábbi egyenletrendszernek:
A megoldáshoz célszerű az egyenletekben a négyzetre emeléseket elvégezni, majd 0 -ra rendezni:
Ha az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, akkor megszabadulunk a négyzetes tagoktól, így az egyik ismeretlent ki tudjuk fejezni a másikkal. Ennek megfelelően most vonjuk ki az első egyenletet a másodikból.
18 x + 6 y + 24 = 0 .
Mindkét oldalt 6 -tal osztva
3 x + y + 4 = 0 .
Ebből y = –3 x – 4 . Írjuk ezt be az első egyenletbe.
x 2 + (–3 x – 4) 2 – 4 x – 16 = 0 .
A négyzetre emelést elvégezve, majd rendezve kapjuk, hogy
10 x 2 + 20 x = 0 .
Mindkét oldalt 10 -zel osztva, majd x -et kiemelve
x ( x + 2) = 0 ,
ahonnan x 1 = –2 , x 2 = 0 . Ezeket visszahelyettesítve az y -t kifejező egyenletbe kapjuk a megfelelő második koordinátákat:
y 1 = 2 , y 2 = –4 .
A két kör metszéspontjai tehát M 1 (–2; 2) , M 2 (0, –4) (53. ábra) .
53. ábra

53. ábra

Megjegyzés: A 3. példa megoldása során, mikor a két kör egyenletét kivontuk egymásból, kaptuk a 3 x + y + 4 = 0 kétismeretlenes lineáris egyenletet, ami egy egyenes egyenlete. Mivel a két kör metszéspontjainak koordinátái mindkét kör egyenletét kielégítik, ezért a két egyenlet kivonásával kapott egyenletet is. Ez pedig, mivel két pont egyértelműen meghatároz egy egyenest, azt jelenti, hogy a
3 x + y + 4 = 0 egyenlet a két kör közös szelőjének egyenlete.
4. példa
Mekkora a K 1 (–4; 1) középpontú k 1 körnek a sugara, ha az érinti az ( x – 2) 2 +( y – 9) 2 = 4 egyenletű k 2 kört? Számítsuk ki az érintési pont koordinátáit.
Megoldás
A feladat feltételeinek két kör tesz eleget, ugyanis k 2 kívülről is és belülről is érintheti k 1 -et (54. ábra) .
54. ábra

54. ábra

Nézzük előbb a külső érintkezés esetét. Ha r 1 jelöli a k 1 , r 2 a k 2 kör sugarát, K 2 pedig a k 2 kör középpontját, akkor
r 1 + r 2 = K 1 K 2 .
K 2 koordinátái és r 2 a k 2 kör egyenletéből kiolvashatók: K 2 (2; 9) , r 2 = 2 .
Ebben az esetben tehát r 1 = 8 , így k 1 egyenlete
( x + 4) 2 + ( y – 1) 2 = 64 .
Az érintési pont koordinátáinak meghatározásához az
egyenletrendszert kell megoldani.
Elvégezve a négyzetre emeléseket, majd 0 -ra rendezve
A második egyenletből kivonva az elsőt
12 x + 16 y – 128 = 0 ,
majd 4 -gyel osztva mindkét oldalt
3 x + 4 y – 32 = 0 .
Ebből x = Helyettesítsük ezt az első egyenletbe:
Elvégezve a műveleteket és rendezve kapjuk, hogy
25 y 2 – 370 y + 1369 = 0 .
A bal oldalon (5 y – 37) 2 áll, ez pedig akkor és csak akkor egyenlő 0 -val, ha y = = 7,4 . Ebből kapjuk, hogy
x = = 0,8 .
Kaptuk, hogy ha a két kör kívülről érinti egymást, akkor az érintési pont E (0,8; 7,4) .
Jelölje k 1 azt a K 1 középpontú, r 1 sugarú kört, amelyet k 2 belülről érint.
Könnyen látható, hogy
r 1 = r 1 + 2 r 2 = 12 .
A k 1 kör egyenlete:
( x + 4) 2 + ( y – 1) 2 = 144 .
Az E’ ( x ; y ) érintési pont koordinátáit most annak figyelembe vételével határozzuk meg, hogy K 2 felezi az EE’ szakaszt. Így
ahonnan x = 3,2 és y = 10,6 . k 1 és k 2 érintési pontja tehát
E’ (3,2; 10,6) .
Megjegyzés: A megoldás első részében E koordinátáit is meghatározhattuk volna az osztópont koordinátáira vonatkozó összefüggés alapján. Most, mintegy ellenőrzésképpen így is kiszámítjuk őket.
E a K 1 K 2 szakaszt r 1 : r 2 arányban osztja két részre, azaz
Így E első koordinátája
második koordinátája
A következőkben egy példa kapcsán koordinátageometriai eszközökkel megadjuk egy adott körhöz adott külső pontból húzható érintőket. Ezt a problémát 9. osztályban már megoldottuk körzővel és vonalzóval, azaz megmutattuk, hogyan lehet megszerkeszteni az érintőket.
5. példa
Írjuk fel az ( x – 5) 2 + ( y – 1) 2 = 10 egyenletű körhöz a P (–2; 2) pontból húzható érintők egyenletét.
I. megoldás
Ebben a megoldásban ugyanazt az utat járjuk végig, mint 9. osztályban a megfelelő szerkesztési feladat kapcsán.
A kör középpontja K (5; 1) , sugara r = . Mivel az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre, ezért Thalész tételéből adódóan a KP szakasz mint átmérő fölé írt kör metszi ki az érintési pontokat az adott körből. Az érintési pontok és a P pont egyértelműen meghatározzák az érintőket (55. ábra) .
55. ábra

55. ábra

A megoldás lépései:
A megoldás lépései:
a KP szakasz F felezőpontjának meghatározása
I. KP felezőpontja
a Thalész-kör KF = FP sugarának kiszámítása
II.
az F középpontú, KF = FP sugarú kör egyenletének felírása

az adott kör és a KP szakasz fölé írt Thalész-kör egyenletéből álló egyenletrendszer megoldásával az E 1 és E 2 érintési pontok koordinátáinak kiszámítása
III. Az F középpontú Thalész-kör egyenlete:
IV. A megoldandó egyenletrendszer:
Elvégezve a négyzetre emeléseket és 0 -ra rendezve:
Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt:
7 x y – 24 = 0 ,
ahonnan y = 7 x – 24 . Ezt a második egyenletbe helyettesítve, majd az így kapott egyenletet rendezve kapjuk, hogy
5 x 2 – 36 x + 64 = 0 .
Ennek gyökei: x 1 = 4 , x 2 = . Ezeket y kifejezésébe írva adódik, hogy y 1 = 4 , y 2 = .
Az érintési pontok: E 1 (4; 4) , E 2 .
a PE 1 és PE 2 egyenesek egyenletének felírása
V. Az E 1 érintési pontra illeszkedő e 1 érintő két pontja P és E 1 , így iránytangense
Az iránytényezős alakot használva e 1 egyenlete:
vagy más alakban
x – 3 y + 8 = 0 .
Az E 2 pontra illeszkedő e 2 érintő iránytangense
így egyenlete
Átalakítva
9 x + 13 y – 8 = 0 .
A két érintő egyenlete tehát
e 1 : x – 3 y + 8 = 0 ,
e 2 : 9 x + 13 y – 8 = 0 .
II. megoldás
Az 1. példa megoldásának módszerét itt is alkalmazhatjuk. A P (–2; 2) pontra illeszkedő egyenesek egyenlete az iránytényezős alak alapján
y – 2 = m ( x + 2)
alakú, ahol m az egyenes iránytangense. Azokat az m értékeket keressük, amelyekre a körnek és a P pontra illeszkedő, m irány­tangensű egyenesnek pontosan egy közös pontja van, vagyis az
egyenletrendszernek pontosan egy rendezett valós számpár megoldása van.
A második egyenletből y -t kifejezve, majd ezt az első egyenletbe helyettesítve az
( m 2 + 1) x 2 + 2 · (2 m 2 + m – 5) x + 4 · ( m 2 + m + 4) = 0
paraméteres másodfokú egyenletet kapjuk. Ennek pontosan akkor van 1 megoldása, ha diszkriminánsa 0 , azaz
4 · (2 m 2 + m – 5) 2 – 16 · ( m 2 + 1) · ( m 2 + m + 4) = 0 .
A műveletek elvégzése és rendezés (kicsit hosszadalmas számítások) után kapjuk a
39 m 2 + 14 m – 9 = 0
másodfokú egyenletet, amelynek gyökei m 1 = , m 2 = összhangban az I. megoldással. Innen az érintők egyenlete a már látott módon felírható.
6. példa
Írjuk fel az ( x – 2) 2 + ( y – 3) 2 = 25 egyenletű kör P (5; –1) pontjára illeszkedő érintő egyenletét.
Megoldás
56. ábra

56. ábra

A kör középpontja K (2; 3) , sugara r = 5 (56. ábra) .
A P pontra illeszkedő e érintő merőleges a KP egyenesre, ezért egy normálvektora:
Adott tehát az érintő egy normálvektora és egy pontja (az érintési pont), így egyenlete
–3 x + 4 y = (–3) · 5 + 4 · (–1) = –19 ,
vagy másképpen
3 x – 4 y = 19 .
Kosárba helyezve!