Sokszínű matematika 11.

Az alábbi tartalmat jelenleg INGYENES hozzáféréssel tekinted meg.
Amennyiben szeretnél teljes hozzáférést az oldalhoz, kérjük, regisztrálj, jelentkezz be, és vásárold meg a szükséges elektronikus licencet vagy írd be a nyomtatott könyv hátuljában található kódot!
8. A kör egyenlete
Az egyenest a síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben egy kétismeretlenes lineáris egyenlettel tudjuk megadni. Ezt az egyenletet az egyenes pontjainak koordinátái, és csak azok elégítik ki.
Célunk a továbbiakban az, hogy a sík egy másik nevezetes ponthalmazát, a kört is egyértelműen jellemezni tudjuk egy olyan egyenlettel, amelyet csak a kör (körvonal) pontjainak koordinátái elégítenek ki.
42. ábra

42. ábra

Mivel a kört a síkon egyértelműen meghatározza a középpontja és a sugara, ezért legyen adott a k kör K ( u ; v ) középpontja és r
( r > 0) sugara. A P ( x ; y ) pont akkor és csak akkor illeszkedik a k körre, ha KP = r (42. ábra) .
A két pont távolságára vonatkozó összefüggés alapján
ami ekvivalens a négyzetre emelés utáni
( x u ) 2 + ( y v ) 2 = r 2
egyenlettel.
Kaptuk, hogy a P ( x ; y ) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K ( u ; v ) középpontú, r sugarú körre (körvonalra), ha
a kör egyenlete
( x u ) 2 + ( y v ) 2 = r 2 .
Ez az összefüggés a K ( u ; v ) középpontú, r sugarú kör egyenlete.
A négyzetre emelések elvégzésével a kör egyenlete így is írható:
x 2 + y 2 – 2 ux – 2 vy + u 2 + v 2 r 2 = 0 .
Megjegyzés: A kör egyenletének levezetéséből adódik, hogy a K ( u ; v ) középpontú nyitott körlemez (a körvonalat nem vesszük hozzá) bármely Q ( x ; y ) pontjának koordinátáira, és csak azokra
( x u ) 2 + ( y v ) 2 < r 2 ,
a zárt körlemez (a körvonalat hozzávesszük) pontjainak koordinátáira, és csak azokra pedig
( x u ) 2 + ( y v ) 2r 2 .
43. ábra

43. ábra

1. példa
Írjuk fel az origó középpontú, 4 egység sugarú kör egyenletét.
Megoldás
Most u = 0 , v = 0 és r = 4 (43. ábra) , így a kérdéses kör egyenlete
x 2 + y 2 = 16 .
2. példa
Írjuk fel a K (–2; 3) középpontú, 5 egység sugarú k kör egyenletét, és határozzuk meg a koordinátatengelyek azon pontjainak koordinátáit, amelyek illeszkednek k -ra.
Megoldás
u = –2 , v = 3 , r = 5 , így k egyenlete
( x + 2) 2 + ( y – 3) 2 = 25 .
A k kör az x tengelyt olyan pontokban metszi, amelyek második koordinátája 0 , így első koordinátájukra fennáll az
( x + 2) 2 + (–3) 2 = 25
44. ábra

44. ábra

egyenlet. Mindkét oldalból 9 -et kivonva, majd 0 -ra rendezve kapjuk, hogy
( x + 2) 2 – 16 = 0 .
Az egyenlet bal oldala könnyen szorzattá alakítható
( x + 2 – 4)( x + 2 + 4) = 0 ,
ahonnan összevonások után
( x – 2)( x + 6) = 0 .
Innen x 1 = –6 , x 2 = 2 , tehát k -nak az x tengellyel vett metszéspontjai: P 1 (–6; 0) , P 2 (2; 0) (44. ábra) .
A k kör y tengelyre illeszkedő pontjainak első koordinátája 0 , a második koordinátákra pedig
2 2 + ( y – 3) 2 = 25 .
A négyzetre emelések elvégzése után, majd 0 -ra rendezve
y 2 – 6 y –12 = 0 .
Ezt az egyenletet megoldva kapjuk, hogy
y 1 = 3 – , y 2 = 3 + .
k -nak az y tengelyre illeszkedő pontjai tehát:
Q 1 (0; 3 – ) , Q 2 (0; 3 + ) .
3. példa
Írjuk fel az ABC háromszög köré írt kör egyenletét, ha A (11; 10) , B (4; 3) , C (8; –5) .
I. megoldás
A háromszög köré írt kör középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja, ezért a középpontot két oldalfelező merőleges metszéspontjaként kapjuk. A körülírt kör sugara a középpont és valamelyik csúcs távolsága (45. ábra) .
45. ábra

45. ábra

A megoldás lépései:
f AB és f BC egyenletének felírása
Így a megoldás lépései:
I. Mivel (–7; –7) , ezért az f AB egy normálvektora c (1; 1) , egy pontja pedig az AB oldal felezőpontja.
Így f AB egyenlete
x + y = 14 .
(4; –8) , ezért az f BC egy normálvektora a (1; –2) , egy pontja a BC oldal F a (6; –1) felezőpontja.
Így f BC egyenlete
x – 2 y = 8 .
f ABf BC = K koordinátáinak meghatározása
II. A középpont koordinátái az alábbi egyenletrendszer megoldásai:
Az első egyenletből kivonva a másodikat kapjuk, hogy
3 y = 6 , ahonnan y = 2 .
Ha az első egyenlet kétszereséhez hozzáadjuk a második egyenletet kapjuk, hogy
3 x = 36 , ahonnan x = 12 .
A kör középpontja: K (12; 2) .
KA 2 = r 2 kiszámítása
III. r 2 = KA 2 = (12 – 11) 2 + (2 – 10) 2 = 1 + 64 = 65 .
a háromszög köré írt kör egyenletének felírása
IV. Az ABC háromszög köré írt kör egyenlete
( x – 12) 2 + ( y – 2) 2 = 65 .
II. megoldás
Az előző megoldás számításait geometriai megfontolások alapján végeztük. Most egy tisztán algebrai megoldást mutatunk.
Legyen a keresett kör középpontja K ( u ; v ) , sugara r . Ekkor egyenlete:
( x u ) 2 + ( y v ) 2 = r 2 .
A háromszög csúcsai illeszkednek a körre, ami pontosan azt jelenti, hogy koordinátáik kielégítik a kör egyenletét.
Így
(1)          (11 – u ) 2 + (10 – v ) 2 = r 2 ,
(2)              (4 – u ) 2 + (3 – v ) 2 = r 2 ,
(3)            (8 – u ) 2 + (–5 – v ) 2 = r 2 .
Kaptunk az u , v és r ismeretlenekre egy másodfokú egyenletrendszert. A négyzetreemeléseket elvégezve, rendezés után kapjuk:
A (2) egyenletből (1)-et kivonva:
14 u + 14 v – 196 = 0 ,
ahonnan
u + v = 14 .
A (2) egyenletből most (3)-at vonjuk ki:
8 u – 16 v – 64 = 0 ,
ahonnan
u – 2 v = 8 .
Az
egyenletrendszer megoldása (lásd I. megoldás): u = 12 , v = 2 .
u és v értékét az (1), (2) és (3) egyenletek valamelyikébe helyettesítve kapjuk, hogy
4. példa
Határozzuk meg a kör középpontját és sugarát, ha egyenlete:
a)
x 2 + y 2 – 2 x + 6 y +1 = 0 ;
b)
x 2 + y 2 + 8 x – 2 y +22 = 0 .
Megoldás (a)
A középpont és a sugár meghatározásához az egyenletet hozzuk az ( x u ) 2 + ( y v ) 2 = r 2 alakra. Alkalmazzuk ehhez az adott egyenlet bal oldalán a teljes négyzetté kiegészítés módszerét:
x 2 + y 2 – 2 x + 6 y + 1 = ( x 2 – 2 x + 1) + ( y 2 + 6 y + 9) – 9 =
= ( x – 1) 2 + ( y + 3) 2 – 9 = 0 .
Így az egyenlet számunkra informatív alakja
( x – 1) 2 + ( y + 3) 2 = 3 2 ,
ebből az alakból pedig leolvasható, hogy a kör középpontja a
K (1; –3) pont, sugara pedig 3 egység.
Megoldás (b)
Alakítsuk most is az egyenlet bal oldalát:
x 2 + y 2 + 8 x – 2 y + 22 = ( x 2 + 8 x + 16) + ( y 2 – 2 y + 1) + 5 =
= ( x + 4) 2 + ( y – 1) 2 + 5 = 0 ,
ahonnan
( x + 4) 2 + ( y – 1) 2 = –5 .
Ez egyetlen valós x és y esetén sem teljesülhet, hiszen ( x + 4) 2 0 , ( y – 1) 20 . Kaptuk tehát, hogy nincs olyan kör, amelynek a b) alpontbeli egyenlet lenne az egyenlete.
A 4. példa megoldása azt mutatja, hogy érdemes általánosan is megvizsgálni, hogy egy olyan másodfokú kétismeretlenes egyenlet, amelyben nincs xy -os tag és a négyzetes tagok együtthatója egyenlő, milyen feltételek teljesülése esetén lesz egy kör egyenlete. A kör egyenletének származtatásából adódik, hogy bármelyik kör egyenlete
x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0
alakra hozható, ezért elegendő az ilyen típusú egyenleteket vizsgálni. A bal oldalt alakítva
Ez akkor és csak akkor kör egyenlete, ha A 2 + B 2 – 4 C > 0 . Ekkor a kör középpontja sugara
A következőkben összefoglaljuk és rendszerezzük a kör egyenletével kapcsolatos tudnivalókat.
a kör egyenlete
Definíció: A síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben egy kör egyenlete olyan kétismeretlenes egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a P ( x ; y ) pontoknak a koordinátái elégítenek ki, amelyek illeszkednek a körre.
Tétel: Egy kétismeretlenes másodfokú egyenlet akkor és csak akkor egyenlete egy körnek a síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben, ha
x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0
alakra hozható, ahol A , B , C olyan valós számok, amelyekre teljesül az A 2 + B 2 – 4 C > 0 egyenlőtlenség. Ezzel az egyenlettel előállított kör középpontja sugara
Ha r = 0 ( A 2 + B 2 – 4 C = 0) , akkor az egyenletet csak egyetlen pont, a pont koordinátái elégítik ki.
Most arra mutatunk egy példát, hogy egy nem a koordinátageometria nyelvén megfogalmazott síkgeometriai problémát hogyan lehet koordinátageometriai eszközökkel megoldani.
46. ábra

46. ábra

*5. példa
Adott a síkon két különböző pont, A és B . Határozzuk meg a sík azon P pontjainak halmazát, amelyekre AP : PB = 2 : 3 .
Megoldás
Illesszük a síkra a derékszögű koordináta-rendszert úgy, hogy az A pont az origóban legyen, a B pont pedig illeszkedjen az x tengelyre (46. ábra) .
Ekkor az adott pontok: A (0; 0) , B ( b ; 0) . Egy tetszőleges, a feltételnek megfelelő P ( x ; y ) pontra a távolságarány
Négyzetre emelés és beszorzás után
4[( x b ) 2 + y 2 ] = 9( x 2 + y 2 ) .
A műveletek elvégzése és 0 -ra rendezés után
5 x 2 + 5 y 2 + 8 bx – 4 b 2 = 0 .
Mindkét oldalt 5 -tel osztva kapjuk, hogy
Apollóniusz a Kr. e. III. század nagy görög matematikusa és csillagásza. Alexandriaban és a kisázsiai Pergában tanított. Leghíresebb, 8 kötetes művét a kúpszeletekről írta. Művei közül sok elveszett, vagy csak töredékeiben ismert. Az elsők között kötötte ki, hogy szerkesztési feladatokhoz csak körző és vonalzó használható. Fennmaradt műveit Regiomontanus fordította latinra a XV. században.
ami nagyon hasonlít egy kör egyenletére. Alakítsuk át és nézzük meg, hogy van-e olyan kör, amelynek ez az egyenlete.
Teljes négyzetté alakítással
ahonnan
Mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk, ezért a keresett ponthalmaz pontjai azok és csak azok a P ( x ; y ) pontok, amelyek kielégítik a fenti egyenletet.
Kaptuk, hogy a keresett ponthalmaz egy kör, amelynek középpontja sugara
Megjegyzések:
1.
A most alkalmazott módszerrel általánosan is belátható, hogy egy kör (körvonal) azoknak a pontoknak a halmaza a síkon, amelyeknek két adott ponttól vett távolságaránya egy 1 -től különböző állandó.
Ezt a kört az adott pontokhoz és adott arányhoz tartozó Apollóniusz-körnek nevezzük.
2.
Tudjuk korábbról, hogy ha az adott pontoktól vett távolságarány 1 , akkor a kérdéses ponthalmaz az adott pontok által meghatározott szakaszfelező merőleges.
Kosárba helyezve!