Az alábbi tartalmat jelenleg INGYENES hozzáféréssel tekinted meg.
Amennyiben szeretnél teljes hozzáférést az oldalhoz, kérjük regisztrálj, jelentkezz be, és vásárold meg a szükséges elektronikus licencet vagy írd be a nyomtatott könyv hátuljában található kódot!


4. A terület fogalma, a sokszögek területe
Gyakran adódik, hogy különböző típusú alakzatok, síkidomok területét kell meghatároznunk. Például egy telek nagysága meghatározhatja annak értékét, egy falfelület a hozzá szükséges burkoló anyagok mennyiségét. Ezek a síkidomok legtöbbször sokszögek, de később látni fogjuk, hogy lehetnek tetszőleges vonallal határolt síkidomok is.
Néhány területmérték m2-ben kifejezett nagysága:
1 ár = 100 m2,
1 hektár = 100 ár = 10000 m2,
1 négyszögöl = 3,596 m2,
1 katasztrális hold =
= 5,75462 · 103 m2 =
= 1600 négyszögöl.
A sokszögek esetén a terület nagyságának meghatározása az egységnyi területtel való összevetés alapján adódik. Az egységet célszerű egy könnyen jellemezhető, egyszerű alakzattal megjeleníteni. Ezt a szerepet az 1 oldalú, ún. egységnégyzet kapta. (Az oldal hossza és a terület nagysága minden esetben az aktuális egységekben értendő. Így például a négyzet oldala lehet
1 m, és akkor a területe 1 m2 lesz. Ha a tárgyalt problémák során ennek nincs szerepe, akkor ezeket elhagyjuk.)
Pontosabban fogalmazva a területet úgy foghatjuk fel, mint egy függvényt, ahol minden síkidomhoz hozzárendelünk egy pozitív számot a következők teljesülése mellett:
(1)
  Az egységnégyzet területe 1.
(2)
  Az egybevágó sokszögek területe egyenlő.
(3)
  Ha egy sokszöget részsokszögekre vágunk szét, akkor a részek területének összege a sokszög területével egyenlő.
Igazolható, hogy ez a hozzárendelés minden sokszöghöz egyértelműen hozzárendel egy pozitív számot, azaz minden sokszögnek van területe.

A definíció általánosítható abban az értelemben, hogy a síkidom nem szükségszerűen egyenesek által határolt, hanem tetszőleges görbék is közrezárhatják. Mi ezek közül a kör és részeinek területét vizsgáljuk meg.

A terület fogalmát felhasználva lehetőségünk lesz a testek felszínéről beszélni, hiszen ha a felület síkba kiteríthető, akkor a felszín megegyezik a terület nagyságával.
A téglalap területe
A sokszögek területének meghatározásánál a téglalap területe szolgál kiindulási alapul. Ezért fontos eredményt rögzít a következő tétel.
a téglalap területe
Tétel: Az a és b oldalú téglalap területe : t = a · b.
Bizonyítás
A tétel állítása nyilvánvaló, ha a téglalapot egységnégyzetekre lehet felvágni, azaz ha az oldalélek hossza egész szám. (28. ábra)

Abban az esetben, ha nem ez a helyzet, akkor a bizonyítás elvégzéséhez finomabb eszközökre van szükség, de az igazolás ekkor is az állítás helyességét mutatja.

Téglalapok esetében megemlíthetjük, hogy bármelyik oldalához tartozó magassága a téglalap másik oldalával egyenlő. Így az a megfogalmazás is helyes, ha azt mondjuk, hogy a téglalap területe megegyezik egy oldalának és a hozzá tartozó magasságának szorzatával.
A paralelogrammák területe
A paralelogrammák területének meghatározásakor felhasznál­hatjuk a téglalapokra kapott eredményt. Bármely paralelogramma könnyen átdarabolható vele egyenlő területű téglalappá a 29. ábrának megfelelő módon.

Az ábrán keletkező két háromszögre teljesül, hogy egybevágóak, így területük egyenlő. Emiatt az ABCD paralelogramma területe megegyezik az ABC’D’ téglalap területével, vagyis a téglalap két oldalának a szorzatával. Az AD’ szakasz hossza viszont éppen a paralelogramma AB oldalához tartozó magassága, így ebben az esetben is teljesül a következő:
a paralelogrammma területe
Tétel: A paralelogramma területe egyenlő bármelyik oldalának és a hozzá tartozó magasságnak a szorzatával: t = a · ma
A háromszögek területe
A háromszögek területét a paralelogrammák területére vezetjük vissza. Ugyanis ha az ábrának megfelelően az ABC háromszöget tükrözzük az AC oldal felezőpontjára, akkor egy ABCB’ paralelogrammát kapunk. (30. ábra)
Ennek a területe nyilván kétszerese a háromszög területének. Mivel a paralelogramma a oldalához tartozó magassága a háromszög ma magasságával egyenlő, ezért az ABC háromszög területére igaz a következő:
Tétel: A háromszög területe egyenlő egy oldalának és a hozzá tartozó magasság szorzatának a felével:
a háromszög területe
Érdemes megemlítenünk, hogy korábbi tanulmányaink során számos olyan összefüggéssel találkoztunk, melyek a háromszög területét más jellemző adatokkal hozzák kapcsolatba. Bizonyítás nélkül ezek közül sorolunk fel néhányat:
t = r · s, ahol r a háromszögbe írt kör sugara, s pedig a félkerület nagysága;
Heron képlete;
ahol α a b és c oldalak által bezárt szöget jelenti;
ahol R a háromszög köré írható kör sugarával egyenlő.
A trapézok területe
A trapézok területének meghatározásában szintén a paralelogrammák területképletét használhatjuk fel. Ha ugyanis az ABCD trapézt tükrözzük például a BC oldalának a felezőpontjára, akkor egy paralelogrammát kapunk. (31. ábra)

A trapéz területe a paralelogramma területének a fele. Azaz:
Tétel: A trapéz területe a két alap számtani közepének és a magasságnak a szorzatával egyenlő:
a trapéz területe
A sokszögek területe
Mivel minden sokszöget feldarabolhatunk háromszögekre, ezért területük meghatározása a háromszögek területének összegzésével elvégezhető. Vannak azonban olyan speciális esetek, amelyekben gyorsabban is meghatározhatjuk a terület nagyságát.

Könnyen adódik a következő tétel:
Tétel: Tetszőleges konvex négyszög területe egyenlő az átlók és a közbezárt szög szinusza szorzatának a felével:
a konvex négyszög területe
Bizonyítás
Tekintsük a 32. ábrát, és használjuk annak jelöléseit.
Nyilvánvaló, hogy a négyszög területe a keletkező négy háromszög területének az összege, ezért:
Felhasználva, hogy sin(180º – φ) = sinφ, a kifejezés kiemelésekkel átalakítható:
Az eredményből adódik, hogy ha egy konvex négyszög átlói merőlegesek egymásra (ilyen négyszög például a deltoid), akkor területe az átlók szorzatának a felével egyenlő:
Szabályos sokszögek esetén célszerű a sokszöget olyan egyenlő szárú háromszögekre bontani, melyek akkor jönnek létre, ha a sokszög csúcsait a középpontjával összekötjük. Az így keletkező egybevágó háromszögek területének összege határozza meg a sokszög területét. (33. ábra)

Egy n oldalú szabályos sokszög esetén a terület nagysága:
ahol r a sokszög köré írható kör sugarának hosszát jelöli.

Korábbi tanulmányaink során már igazoltuk, hogy addig, amíg az egybevágóság a sokszögek területét nem változtatja meg, egy k arányú hasonlóság esetén ez már nem teljesül.

A változás mértékét elegendő háromszögekre megvizsgálnunk. A hasonlóság egy a oldalú, ma magasságú háromszög méreteit k-szorosára változtatja meg. Ezért a háromszög területe:
Ebből következik, hogy a k arányú hasonlóság a sokszögek területét k2-szeresére változtatja.
Feladatok
  1. 
Mekkora a területe az a oldalú szabályos háromszögnek?
  2. 
Egy paralelogramma egyik oldala 7 cm, a hozzá tartozó magassága 6 cm, a másik oldalhoz tartozó magasság 3 cm. Határozzuk meg a másik oldal hosszát és a paralelogramma szögeit.
  3. 
Határozzuk meg a paralelogramma átlóinak hosszát és a bezárt szög nagyságát, ha az oldalainak nagysága 6 cm és 10 cm, a területe pedig 40 cm2.
  4. 
Egy ABC háromszög mindegyik oldalát a hosszával meghosszabbítottuk, AB-t B-n, BC-t C-n, CA-t A-n túl. Így a PQR háromszöget kaptuk. Hányszorosa a PQR háromszög területe az ABC háromszög területének?
*5. 
Egy háromszög oldalainak harmadolópontjait a csúcsokkal kötöttük össze az ábra szerint. Hányadrésze a keletkező PQR háromszög az eredeti ABC háromszögnek?
  6. 
Adott ABC háromszöget osszunk két egyenlő területű részre az egyik csúcsán áthaladó egyenessel.
  7. 
Egy szabályos ötszög oldala 10 cm. Mekkora a területe?
8.
Igazoljuk, hogy a következő ábrákon látható sötétebb színű részek területösszege egyenlő a világosabb színű részek területének összegével.
9.
Egy rombusz két átlója 2 és 4 egység hosszúságú. A rombuszt a középpontja körül 90º-kal elforgatjuk. Számítsuk ki az eredeti és az elforgatott rombusz közös részének a területét.
*10.
Létezik-e olyan egész oldalú téglalap, melynek kerülete és területének mérőszáma megegyezik?
*11.
Egy szabályos sokszög köré írható kör középpontját tükrözzük rendre a sokszög oldalaira. Legyen a sokszög területe T, a tükörképek által meghatározott sokszög területe T’.
a)
Bizonyítsuk be, hogy
b)
Mely sokszög esetén leszegész szám?