Az alábbi tartalmat jelenleg INGYENES hozzáféréssel tekinted meg.
Amennyiben szeretnél teljes hozzáférést az oldalhoz, kérjük regisztrálj, jelentkezz be, és vásárold meg a szükséges elektronikus licencet vagy írd be a nyomtatott könyv hátuljában található kódot!


8. Műveletek algebrai törtekkel
Az egyszerűsítés azt jelenti, hogy a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a számmal vagy kifejezéssel osztjuk.Az értelmezési tartományt az egyszerűsítés előtt kell megállapítani!
Az algebrai törtek értelmezésével már foglalkoztunk. Egy törtkifejezés akkor értelmezhető, ha nevezője nem nulla. Erről a későbbiekben se feledkezzünk meg!
Algebrai törtek egyszerűsítése
1. példa
Egyszerűsítsük a következő törtet: .
Megoldás
Az egyszerűsítés azt jelenti, hogy a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a számmal osztjuk. Az alkalmas szám megtalálásához írjuk fel a számlálót és a nevezőt is prímszámok szorzataként: 1008 = 2 4 · 3 2 · 7 , illetve 1512 = 2 3 · 3 3 · 7 , majd az azonos tényezőkkel egyszerűsíthetünk: .
Algebrai törtek egyszerűsítésénél is hasonlóan járhatunk el.
2. példa
Egyszerűsítsük a következő törtet:
Megoldás
Ahhoz, hogy esélyünk legyen az egyszerűsítésre, alakítsuk a számlálót és a nevezőt is szorzattá , ha találunk azonos tényezőt, azzal egy szerűsíthetünk: . A nevező
szorzat alakja segít a tört értelmezési tartományának megállapításában is, hiszen ( x + 3) 2 ≠ 0 , azaz x + 3 ≠ 0 , vagyis az eredeti algebrai tört értelmezhető, ha x ≠ –3.
3. példa
Egyszerűsítsük a következő törteket:
a)
;
b)
.
Megoldás (a)
A nevező szorzat alakjából látható, hogy a ≠ 4 és a ≠ –4.
Megoldás (b)
A nevező szorzat alakja mutatja, hogy b ≠ 5 és a ≠ –2.
Algebrai törtek szorzása
4. példa
Végezzük el a következő szorzást: .
Megoldás
Az egyszerűsítést célszerű a műveletek elvégzése előtt megtenni.
Eredményünk egyszerűsíthető, ám ezt a művelet elvégzése előtt is megtehetjük, 3 -mal és 5 -tel egyszerűsítve:
5. példa
Végezzük el a következő szorzást:
Megoldás
A törtek értelmezhetők, ha és x ≠ –2 . A számlálók
és a nevezők is elsőfokúak és kiemelni sem tudunk, ezért nem lehet egyszerűsíteni.
Elvégezve a megfelelő szorzásokat:
6. példa
Végezzük el a következő szorzást: 3 x + 12 2 x 2 · 4 x 4 6 x 12
Megoldás
A törtek értelmezhetők, ha x ≠ 1 és x ≠ 2 . Most is minden
tényező elsőfokú, de kiemeléssel próbálkozhatunk:
Ez a szorzatalak már mutatja, hogy tudunk egyszerűsíteni 2 -vel, 3 -mal és ( x – 1) -gyel:
Algebrai törtek osztása
7. példa
Végezzük el a osztást.
Megoldás
Törtek osztása az osztó reciprokával való szorzást jelent.
A törttel való osztás a reciprokával való szorzást jelenti, ahol az egy szerűsítéseket elvégezve:
Hasonlóan járhatunk el algebrai törtek esetén is.
8. példa
Végezzük el a következő osztásokat:
a)
b)
Megoldás (a)
Törtek osztásánál az osztó számlálója sem lehet 0!
Vigyázzunk, most nemcsak a nevezők, hanem az osztó számlálója sem lehet 0! Ha szorzattá alakítunk, akkor az értelmezés kérdése is könnyen megoldódik:
x 2 + 4 x + 4 = ( x + 2) 2 , tehát x ≠ –2, 2 x – 6 = 2( x – 3),
tehát x ≠ 3.

x 2 – 4 = ( x – 2)( x + 2),
vagyis x ≠ 2, x ≠ –2.

Összegezve: a feladatbeli törtek értelmezhetők, ha x ≠ –2,
x ≠ 2, x ≠ 3.
Már csak az osztandó számlálóját kell szorzattá alakítanunk, és egyszerűsíthetünk: .
Megoldás (b)
Először foglalkozzunk a törtek értelmezésével:
12 x – 6 ≠ 0, vagyis , 12 x 2 – 12 x + 3 ≠ 0.
Segít a szorzattá alakítás:
3(4 x 2 – 4 x + 1) = 3(2 x – 1) 2 ≠ 0, tehát .
Vizsgáljuk meg az osztó számlálóját:
x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 = ( x + 1) 3 ≠ 0, vagyis x ≠ –1.
Tehát a probléma értelmezhető, ha és x ≠ –1.

A művelet elvégzéséhez, illetve az egyszerűsítéshez még az osztandó számlálóját kell szorzattá alakítanunk:
5 x 2 + 10 x + 5 = 5( x 2 + 2 x + 1) = 5( x + 1) 2 .
Szorzattá alakítás kiemeléssel és nevezetes azonosság alkalmazásával.
Az eredeti feladat szorzattá alakított számlálókkal és nevezőkkel:

Algebrai törtek összeadása
9. példa
Végezzük el a következő műveleteket:
Összeadásnál a törteket közös nevezőre kell hozni.
Megoldás
A törtek közös nevezője
a nevezők legkisebb közös többszöröse: 12.
Elvégezve a műveletet:

Algebrai törtek esetén is hasonlóan járhatunk el.
10. példa
Végezzük el a következő műveleteket:
a)
b)
Megoldás (a)
A nevezők nem lehetnek nullák, azaz x ≠ 0 . A közös nevező a nevezők „legkisebb többszöröse” 6 x , a megfelelő bővítéseket elvégezve:
Megoldás (b)
A nevezők nem lehetnek nullák, tehát x ≠ –3 és x ≠ 3.
A közös nevező megtalálásához szorzattá kell alakítanunk a harmadik nevezőt: x 2 – 9 = ( x + 3)( x – 3) , ez a szorzat megfelel közös nevezőnek:
Vegyük észre, hogy az összevonás után volt lehetőségünk az egyszerűsítésre, csak szorzattá kellett alakítanunk a számlálót.
*11. példa
Egyszerűsítsük a következő törtet:
Megoldás
Alakítsuk szorzattá a nevezőt:
A tört értelmezhető, ha x ≠ 0 és x ≠ 2.
A számláló is szorzattá alakítható, hiszen:
a 3 b 3 = ( a b )( a 2 + ab + b 2 )
A számláló és a nevező szorzat alakját felhasználva elvégezhetjük a tört egyszerűsítését: