A kosarad üres

Vásárlás

Darab: 0

Összesen: 0,00

0

A térfogat változása

A térfogat változása

A jelenet segítségével szemléletessé tehetjük a hasonlóság aránya és a térfogat változása közötti összefüggést.

Matematika

Címkék

térfogat, gömb, gúla, kocka, téglatest, egyenes körkúp, arány, felszín, képlet, orsócsont, magasság, szabályos négyoldalú gúla, él, alaplap, térbeli test, tér, hasonlóság, , geometria, térgeometria, matematika

Kapcsolódó extrák

Jelenetek

Téglatest

  • a
  • b
  • c
  • 2a
  • 2b
  • 2c
  • 3a
  • 3b
  • 3c

A téglatest olyan egyenes hasáb, melynek az alapja egy téglalap. A téglatest térfogata az egy csúcsból kiinduló három él (a, b, c) hosszának szorzataként határozható meg.

Ha végrehajtunk egy λ = 2 arányú hasonlósági transzformációt a téglatestre, akkor az éleinek a hossza a kétszeresére nő. A térfogatot meghatározó háromtényezős szorzat minden tényezője a kétszeresére nő, ezért a téglatest térfogata a nyolcszorosára nő.

Ha végrehajtunk egy λ = 3 arányú hasonlósági transzformációt a téglatestre, akkor az éleinek a hossza a háromszorosára nő. A térfogatot meghatározó háromtényezős szorzat minden tényezője a háromszorosára nő, ezért a téglatest térfogata a huszonhétszeresére nő.

Általában igaz, hogy ha egy téglatestre végrehajtunk egy λ arányú hasonlósági transzformációt, akkor a téglatest térfogata a λ³-szorosára (vagyis „köbösen”) változik.

Kocka

  • a
  • 2a
  • 3a

A kocka olyan téglatest, melynek a lapjai (egybevágó) négyzetek. Az öt szabályos (platóni) test egyike. A kocka térfogata az egy csúcsból kiinduló három él (a, a, a) hosszának szorzataként határozható meg, vagyis az élhosszúsága köbeként.

Ha végrehajtunk egy λ = 2 arányú hasonlósági transzformációt a kockára, akkor az élének a hossza a kétszeresére nő. A térfogatot meghatározó hatványalak alapja a kétszeresére nő, ezért a kocka térfogata a nyolcszorosára nő.

Ha végrehajtunk egy λ = 3 arányú hasonlósági transzformációt a kockára, akkor az élének a hossza a háromszorosára nő. A térfogatot meghatározó hatványalak alapja a háromszorosára nő, ezért a kocka térfogata a huszonhétszeresére nő.

Általában igaz, hogy ha egy kockára végrehajtunk egy λ arányú hasonlósági transzformációt, akkor a kocka térfogata a λ³-szorosára (vagyis „köbösen”) változik.

Szabályos négyoldalú gúla

  • a
  • b
  • m
  • 2a
  • 2b
  • 2m
  • 3a
  • 3b
  • 3m

A szabályos négyoldalú gúla olyan gúla, melynek az alapja egy négyzet, az oldallapjai pedig egybevágó egyenlő szárú háromszögek. A szabályos négyoldalú gúla térfogata az alaplapja területe (az alapél négyzete: a²) és a testmagassága (m) szorzatának harmadaként határozható meg.

Ha végrehajtunk egy λ = 2 arányú hasonlósági transzformációt a szabályos négyoldalú gúlára, akkor az alapélének és a testmagasságának a hossza is a kétszeresére nő. A térfogatot meghatározó szorzat hatványalakjának alapja és a másik tényező is a kétszeresére nő, ezért a szabályos négyoldalú gúla térfogata a nyolcszorosára nő.

Ha végrehajtunk egy λ = 3 arányú hasonlósági transzformációt a szabályos négyoldalú gúlára, akkor az alapélének és a testmagasságának a hossza is a háromszorosára nő. A térfogatot meghatározó szorzat hatványalakjának alapja és a másik tényező is a háromszorosára nő, ezért a szabályos négyoldalú gúla térfogata a huszonhétszeresére nő.

Általában igaz, hogy ha egy szabályos négyoldalú gúlára végrehajtunk egy λ arányú hasonlósági transzformációt, akkor a szabályos négyoldalú gúla térfogata a λ³-szorosára (vagyis „köbösen”) változik.

Egyenes körkúp

  • r
  • m
  • 2r
  • 2m
  • 3r
  • 3m

Az egyenes körkúp olyan kúp, melynek az alaplapja egy kör és a csúcs alaplapra vonatkozó merőleges vetülete egybeesik az alapkör középpontjával. Az egyenes körkúp térfogata az alapkör területének (r²π) a testmagassággal (m) képzett szorzatának a harmadaként határozható meg.

Ha végrehajtunk egy λ = 2 arányú hasonlósági transzformációt az egyenes körkúpra, akkor az alapkör sugarának és a testmagasságnak a hossza is a kétszeresére nő. A térfogatot meghatározó tört számlálójában levő szorzat hatványalakjának alapja és egy másik tényező is a kétszeresére nő, ezért az egyenes körkúp térfogata a nyolcszorosára nő.

Ha végrehajtunk egy λ = 3 arányú hasonlósági transzformációt az egyenes körkúpra, akkor az alapkör sugarának és a testmagasságnak a hossza is a háromszorosára nő. A térfogatot meghatározó tört számlálójában levő szorzat hatványalakjának alapja és egy másik tényező is a háromszorosára nő, ezért az egyenes körkúp térfogata a huszonhétszeresére nő.

Általában igaz, hogy ha egy egyenes körkúpra végrehajtunk egy λ arányú hasonlósági transzformációt, akkor az egyenes körkúp térfogata a λ³-szorosára (vagyis „köbösen”) változik.

Gömb

  • r
  • 2r
  • 3r

A gömb azoknak a térbeli pontoknak a halmaza, melyek a tér egy adott pontjától (a gömb középpontja: O) egyenlő távolságra (a gömb sugara: r) vannak. A gömb térfogata a sugara harmadik hatványának a π-vel képzett szorzatának 4/3-részeként határozható meg.

Ha végrehajtunk egy λ = 2 arányú hasonlósági transzformációt a gömbre, akkor a sugarának a hossza a kétszeresére nő. A térfogatot meghatározó formula hatványalakjának alapja a kétszeresére nő, ezért a gömb térfogata a nyolcszorosára nő.

Ha végrehajtunk egy λ = 3 arányú hasonlósági transzformációt a gömbre, akkor a sugarának a hossza a háromszorosára nő. A térfogatot meghatározó formula hatványalakjának alapja a háromszorosára nő, ezért a gömb térfogata a huszonhétszeresére nő.

Általában igaz, hogy ha egy gömbre végrehajtunk egy λ arányú hasonlósági transzformációt, akkor a gömb térfogata a λ³-szorosára (vagyis „köbösen”) változik.

Kapcsolódó extrák

Kerület- , terület-, felszín- és térfogatszámítás

Az animáció segítségével síkidomok kerület- és területszámításával és testek felszín- és térfogatszámításának módszerével ismerkedhetünk meg.

Gömb térfogata (Cavalieri-elv)

A megfelelő henger és kúp felhasználásával kiszámíthatjuk a gömb térfogatát.

Gömb térfogata (szemléltetés)

A „tetraéderek” térfogatának összegzésével közelítő értéket kapunk a gömb térfogatára vonatkozóan.

A tetraéder térfogata

A tetraéder térfogatának meghatározásához a hasáb térfogatából indulunk ki.

Felület- és térfogatszámítási feladat

Az „alapkockából” származtatott testekkel kapcsolatos számítási feladatok a térszemléletet is fejlesztik.

Kocka

A szabályos testek közé tartozó kocka „alkotóelemeinek” (csúcs, él, átló, lap) szemléltetése fontos feladat.

Kúpszerű testek

A kúpszerű testek típusaival, kúpokkal, gúlákkal és ezek származtatásával ismerkedhetünk.

Szabályos négyoldalú gúla

A négyzet alapú egyenes gúlát szabályos négyoldalú gúlának nevezzük.

Téglatest

A téglalap alapú egyenes hasábokat (melyek oldallapjai is értelemszerűen téglalapok) téglatesteknek nevezzük.

A téglatestek csoportosítása

A téglatestek különböző típusait hétköznapi használati tárgyak segítségével is szemléltethetjük.

A testek csoportosítása

Az animáció a térbeli testek csoportosítási lehetőségeit szemlélteti konkrét példák segítségével.

A testek csoportosítása 1.

Az animáció a térbeli testek csoportosítási lehetőségeit mutatja be konkrét példák segítségével.

A testek csoportosítása 2.

Az animáció a térbeli testek csoportosítási lehetőségeit mutatja be konkrét példák segítségével.

A testek csoportosítása 3.

Az animáció a térbeli testek csoportosítási lehetőségeit mutatja be konkrét példák segítségével.

A testek csoportosítása 4.

Az animáció a térbeli testek csoportosítási lehetőségeit mutatja be konkrét példák segítségével.

Kosárba helyezve!