A kosarad üres

Vásárlás

Darab: 0

Összesen: 0,00

0

Mérlegen a Pithagorasz-tétel

Mérlegen a Pithagorasz-tétel

A kísérletben Pitagorasz ismert tételét mérleg segítségével is igazoljuk.

03:56

Matematika

Címkék

geometria, Pitagorasz, tétel, mérleg, háromszög, derékszög, matematika

Narráció

Mérlegen a Pitagorasz tétel
Pitagorasz tétele az euklideszi geometria egyik állítása.
Felfedezését és első bizonyítását az i. e. 6. században élt matematikusnak
és filozófusnak, Püthagorasznak tulajdonítják,
pedig indiai, görög,
kínai és babilóniai matematikusok már ismerték a tételt jóval Püthagorasz előtt,
és a kínaiak bizonyítást is adtak rá.
A tétel szerint, bármely derékszögű háromszög leghosszabb oldalának (átfogójának)
négyzete megegyezik a másik két oldal (a befogók) négyzetösszegével.
Tehát: ha egy háromszög derékszögű,
akkor a leghosszabb oldalára emelt négyzet
területe a másik két oldalra emelt négyzetek területének összegével egyenlő.
Más szóval:
a2 + b2 = c2, ahol c az átfogó.
A tétel bizonyítása az animációból is kitalálható.
A középen található sárga négyzet területe c2.
Ha az abc kék háromszögeket jól forgatjuk,
akkor egy kisebb és egy nagyobb sárga négyzetet kapunk.
Jól látható, hogy a kisebb sárga négyzet területe a2,
a nagyobb sárga négyzeté pedig b2.
Mivel sem az alapnégyzet területe
sem az abc kék háromszögek területe nem változott,
mondhatjuk, hogy a kezdeti sárga terület,
c2 egyenlő, a későbbi sárga négyzetek, a2 és b2 összegével.
A továbbiakban Pitagorasz tételét mérleg segítségével fogjuk igazolni.
Két homogén és azonos vastagságú lemez tömege csak akkor egyezik meg,
ha területeik egyenlőek.
A sűrűség definíciójából következik,
hogy a tömeg felírható a sűrűség és a térfogat szorzataként,
tehát m1 egyenlő rhó szor V1-gyel és m2 egyenlő rhó szor V2 vel.
Mivel m1 egyenlő m2-vel,
ezért rhó szor V1 is egyenlő rhó szor V2-vel.
A térfogatot kifejezhetjük az alapterület és a magasság szorzataként,
tehát V=A szor h,
ahol A az alapterület és h a magasság.
Ha a tömeg sűrűséggel kifejtett képletébe ezt beírjuk akkor megkapjuk,
hogy rhó szor A1 szer h egyenlő rhó szor A2 szor h-val.
Ha kifejezés mindkét oldalát osztjuk rhó szor h-val,
akkor azt kapjuk, hogy A1=A2,
tehát ha két homogén, azonos vastágságú lemez tömege azonos,
akkor a területük is azonos.
Szerkesszünk egy papírlemezre tetszőleges derékszögű háromszöget,
majd oldalaira szerkesszünk négyzeteket!
Ezeknek a területeik rendre az oldalak négyzetével egyeznek meg!
Vágjuk ki a négyzeteket és mérjük meg a tömegeiket!
Először az átfogóra rajzolt legnagyobb négyzetet tegyük a mérlegre,
a mérleg 9 g tömeget jelez.
Ezt követően tegyük rá a két befogóra rajzolt négyzeteket!
A mérleg ismét 9 grammot mutat.
Ez csak úgy lehetséges, ha a befogókra rajzolt négyzetek területeinek összege
megegyezik az átfogóra rajzolt négyzet területével,
azaz esetünkben: c2 = a2 + b2.

Belső feliratok (labels)

Püthagorasz (Kr.e.582-496), Görög matematikus, filozófus, Bármely derékszögű háromszög leghosszabb oldalának (átfogójának) négyzete megegyezik a másik két oldal (a befogók) négyzetösszegével., Ha, akkor
Kosárba helyezve!