A kosarad üres

Vásárlás

Darab: 0

Összesen: 0,00

0

Sokszínű matematika 11.

Az alábbi tartalmat jelenleg INGYENES hozzáféréssel tekinted meg.
Amennyiben szeretnél teljes hozzáférést az oldalhoz, kérlek, regisztrálj, jelentkezz be, és vásárold meg a szükséges elektronikus licencet vagy írd be a nyomtatott könyv hátuljában található kódot!
4. A szinusztétel
Emlékeztető
A háromszög oldalai és szögei között fennáll, hogy nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal és nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van.
Vegyünk fel egy ABC háromszöget, és a szokásos módon jelöljük az oldalait és a szögeit. (23. ábra)
23. ábra

23. ábra

10. osztályban igazoltuk, hogy a háromszög területe:
Az eredmény természetesen bármely két oldal és a közbezárt szög esetében teljesül. Így megfogalmaztuk a következő tételt:
Tétel: A háromszög területe két oldal hosszának és az általuk közbezárt szög szinusza szorzatának a felével egyenlő.
Ezt az állítást felhasználva kapjuk a következő tételt, melyet szinusztételnek nevezünk.
szinusztétel
Tétel: A háromszögben két oldal hosszának aránya a velük szemközti szögek szinuszainak az arányával egyenlő.
Bizonyítás
A területképlet alapján felírhatjuk a következő egyenlőséget:
Mindkét törtet 2 -vel szorozva és c -vel osztva, azt kapjuk, hogy:
b · sin α = a · sin β .
Ezt az egyenlőséget átírhatjuk a következő alakba, hiszen egy há­romszög egyik oldala és egyik szögének a szinusza sem lehet 0 :
Ezzel a tétel állítását igazoltuk.
A szinusztétel bármelyik két oldal arányára fennáll, ezért a benne található állítás a következő alakban is megfogalmazható:
24. ábra

24. ábra

1. példa
A folyó egyik partján levő A pontnak a túlsó parton található C ponttól való távolságát keressük. Ismert az A -val azonos oldalon található B ponttól mért távolság: AB = 300 m . Meghatároztuk az ábrán látható szögek nagyságát, α = 50° és
β = 60° . Mekkora az A és C pontok távolsága? (24. ábra)
Megoldás
Az ábrából kitűnik, hogy egy háromszögben ismert egy oldal és két szög, és egy további oldal meghatározása a cél.
Az ABC háromszög harmadik szögére:
γ = 180° – 50° – 60° = 70° .
A szinusztétel szerint:
Azaz:
Innen a keresett AC távolságra adódik, hogy:
25. ábra

25. ábra

2. példa
Szeretnénk az előző példában vizsgált A pontból a C pontba átjutni a legrövidebb úton haladva. Milyen irányban evezzünk, ha csónakunk állóvízhez viszonyított sebessége 4 , a víz sodrási sebessége pedig 1 ?
Megoldás
A csónak eredő sebességének az AC szakasz irányába kell mutatnia (25. ábra) .
A feladat szerint ismerjük az összetevő vektorok hosszát és az eredő vektornak az egyik összetevőjével bezárt szögét. Határozzuk meg az ábrán ϕ -vel jelölt szög nagyságát.
A szinusztétel szerint:
Ebből:
A szög ebből egyértelműen meghatározható, hiszen a vizsgált háromszögben a kisebb oldallal szemben kisebb szög van, ezért: ϕ = 11,04° .
Ebben az irányban kell tehát eveznünk ahhoz, hogy a legrövidebb úton érjük el célunkat.
3. példa
Egy háromszögben a = 3 , b = 4 , valamint az a oldallal szemben lévő szög α = 45° . Határozzuk meg a háromszög hiányzó oldalát, illetve szögeit!
26. ábra

26. ábra

Megoldás
Jelöljük a háromszög oldalait és szögeit a szokásos módon. (26. ábra)
Írjuk fel a szinusztételt:
A megadott adatokkal:
Emiatt:
A sin β0,943 egyenlőség alapján két megoldás is elképzelhető, hiszen a β szögről csak annyit mondhatunk, hogy 0 < β < 180° .
A megoldások a következők lehetnek:
β 170,53° , illetve β 2 180° – 70,53° = 109,47°.
Az első esetben hegyesszögű, a másodikban tompaszögű háromszöget kapunk. (27. ábra)
27. ábra

27. ábra

A két esetben hasonlóan adhatjuk meg a háromszög hiányzó adatait.
a)
Az első esetben a harmadik szög:
γ 1 = 180° – 45° – 70,53° = 64,47° .
A szinusztétel alapján:
Ebből:
b)
A másik esetben:
γ 2 = 180° – 45° – 109,47° = 25,53° .
A c 2 oldal:
Ezzel a háromszög oldalait és szögeit meghatároztuk.
Ha a szinusztételt alkalmazzuk egy háromszög szögeinek meghatározására, akkor a
sin α = sin(180° – α )
összefüggés alapján a sin α meghatározható. Ekkor azonban ügyelnünk kell arra, hogy az α -nak és a 180° – α -nak ugyanakkora a szinusza. Ezért ennek az egyenletnek két megoldása is lehetséges.
Arra viszont figyelnünk kell, hogy egy háromszögben nagyobb oldallal szemben mindig nagyobb szög található, ezért abban az esetben ha b > a , akkor β > α . Ekkor az α szög csak hegyesszög lehet!
4. példa
Egy háromszögben a = 3 , α = 30° és β = 70° . Határozzuk meg a háromszög területét!
Megoldás
Írjuk fel a szinusztételt:
Ebből:
A háromszög harmadik szöge: γ = 180° – 30° – 70° = 80° .
A területképlet alapján:
A háromszög területét egy oldalának és szögeinek ismeretében meghatározhatjuk:
A háromszög területe tehát 8,33 területegység.
Kosárba helyezve!