A kosarad üres

Vásárlás

Darab: 0

Összesen: 0,00

0

Sokszínű matematika 11.

Az alábbi tartalmat jelenleg INGYENES hozzáféréssel tekinted meg.
Amennyiben szeretnél teljes hozzáférést az oldalhoz, kérlek, regisztrálj, jelentkezz be, és vásárold meg a szükséges elektronikus licencet vagy írd be a nyomtatott könyv hátuljában található kódot!
7. Összegzési képletek (emelt szintű tananyag)
35. ábra

35. ábra

Síkidomok hiányzó adatainak meghatározásánál azt tapasztaltuk, hogy a szögfüggvények használata hatékony eszközként alkalmazható. Ezek általános definíciói az egységvektor segítségével adhatók meg. (35. ábra)
= cos α · i + sin α · j ,
ahol egy α irányszögű egységvektor.
A megismert vektorműveletek és ezek tulajdonságai új összefüggéseket adhatnak számunkra.
Tekintsünk 1 és 2 egységvektorokat, melyek irányszögeit jelölje α és β . A két vektor által bezárt szög az ábrának megfelelően α β . (36. ábra)
36. ábra

36. ábra

Vizsgáljuk meg, mit kapunk eredményül, ha vesszük e két vektor skaláris szorzatát. Először írjuk fel ezt a szorzatot a definíció alapján:
1 · 2 = 1 · 1 · cos( α β ) .
Ha ugyanezt a műveletet a koordináták segítségével hajtjuk végre:
1 · 2 = cos α · cos β + sin α · sin β .
A két eredmény természetesen nem térhet el egymástól. Ennek alapján kimondható a következő tétel:
cos( α β ) =
= cos α · cos β + sin α · sin β
Tétel: Két szög különbségének koszinuszát megkapjuk, ha a két szög koszinuszának szorzatához hozzáadjuk a két szög szinuszának szorzatát:
cos( α β ) = cos α · cos β + sin α · sin β .
1. példa
Határozzuk meg cos15° értékét!
Megoldás
Használjuk fel, hogy 45° – 30° = 15° , ezért:
A cos( α β ) –ra kapott összegzési tétel – melyet addíciós tételnek is szokás nevezni – alapján további összegzési tételek bizonyítására van lehetőségünk.
cos( α + β ) =
= cos α · cos β – sin α · sin β  
Tétel: cos( α + β ) = cos α · cos β – sin α · sin β .
Bizonyítás
Mivel a β tetszőleges szög volt, ezért helyettesíthetjük β -val.
Ekkor:
cos(– β ) = cos β
sin(– β ) = –sin β
cos( α + β ) = cos[ α – (– β )] = cos α · cos(– β ) + sin α · sin(– β ) .
Ismert, hogy cos(– β ) = cos β és sin(– β ) = –sin β ,
ezért cos( α + β ) = cos α · cos β – sin α · sin β .
sin( α β ) =
= sin α · cos β – cos α · sin β  
Tétel: sin( α β ) = sin α · cos β – cos α · sin β .
Bizonyítás
Most használjuk fel a pótszögekre vonatkozó összefüggést, mely szerint tetszőleges ϕ szögre igaz, hogy sin ϕ = cos(90° – ϕ ) , valamint az előző tétel állítását.
sin ϕ = cos(90° – ϕ )
cos ϕ = sin(90° – ϕ )
sin( α β ) = cos[90° – ( α β )] = cos[(90° – α ) + β ] =
= cos(90° – α ) · cos β – sin(90° – α ) · sin β =
= sin α · cos β – cos α · sin β .
sin( α + β ) =
= sin α · cos β + cos α · sin β
Tétel: sin( α + β ) = sin α · cos β + cos α · sin β .
Bizonyítás
Mivel az előző tételben szereplő β szög helyére – β írható, ezért:
sin( α + β ) = sin[ α – (– β )] = sin α · cos(– β ) – cos α · sin(– β ) =
= sin α · cos β + cos α · sin β .
2. példa
Igazoljuk a következő azonosságokat:
a)
cos( x + y ) + cos( x y ) = 2 · cos x · cos y ;
b)
cos( x + y ) – cos( x y ) = –2 · sin x · sin y .
Megoldás
Használjuk fel a koszinusz szögfüggvényre igazolt addíciós tételeket. Ezek szerint:
cos( x + y ) = cos x · cos y – sin x · sin y ;  
cos( x y ) = cos x · cos y + sin x · sin y .
A két összefüggést összeadva az a) pontban szereplő, kivonva pedig a b) pontban szereplő állítást kapjuk.
A példa eredménye lehetőséget ad arra, hogy szögek koszinuszainak összegét vagy különbségét szorzattá alakítsuk. Jelöljük ( x + y ) -t és ( x y ) -t egyetlen változóval:
x + y = α ; x y = β .
A két egyenletet összeadva, illetve kivonva egymásból, az x és y szögek kifejezhetők α -val és β -val:
Ezt figyelembe véve a következő két azonossághoz jutunk:
Kosárba helyezve!