A kosarad üres

Vásárlás

Darab: 0

Összesen: 0,00

0

Sokszínű matematika 11.

Az alábbi tartalmat jelenleg INGYENES hozzáféréssel tekinted meg.
Amennyiben szeretnél teljes hozzáférést az oldalhoz, kérlek, regisztrálj, jelentkezz be, és vásárold meg a szükséges elektronikus licencet vagy írd be a nyomtatott könyv hátuljában található kódot!
9. Trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek
Az olyan egyenleteket, melyekben az ismeretlen valamely szögfüggvénye szerepel, trigonometrikus egyenleteknek nevezzük. Ezek megoldásait a definíciók és a korábban igazolt tételek segítségével adhatjuk meg.
1. példa
Oldjuk meg a sin 2 x = egyenletet a valós számok halmazán.
Megoldás
Mivel mindkét oldal nemnegatív, ezért négyzetgyököt vonva:
Így
Mindkét esetben készítsünk ábrát! (39. ábra)
39. ábra

39. ábra

40. ábra

40. ábra

Ezek alapján a megoldások leolvashatók:
ahol k , l , m és n egész számok.
A két ábrát összevonva a megoldások is összevonhatóvá válnak (40. ábra) :
Ezek helyességéről az ellenőrzés során meggyőződhetünk.
41. ábra

41. ábra

42. ábra

42. ábra

43. ábra

43. ábra

2. példa
Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:
I. megoldás
Használjuk fel a összefüggést (41. ábra) , mely alapján az egyenlet így írható:
A definíció alapján könnyen belátható, hogy a sin α = sin β egyenlet akkor és csak akkor teljesül, ha (42. ábra, 43. ábra)
β = α + k · 2 π , vagy β = π α + k · 2 π ( kℤ) .
Így egyenletünkből egyrészt:
adódik, melynek nincs megoldása.
Másrészt:
Ez valóban megoldása lesz egyenletünknek.
II. megoldás
Alakítsuk át az egyenlet jobb oldalát az addíciós tétel alkalmazásával:
Így
Mivel nincs olyan x , amelyre a sin x és cos x egyszerre 0 lenne, ezért ennek az egyenletnek nem lehet olyan gyöke, amelyre
cos x = 0 . Ezért egyenlet mindkét oldalát oszthatjuk cos x -szel:
ahol k tetszőleges egész szám.
3. példa
Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:
4 · sin2 x = 3 · tg x – 3 · ctg x .
Megoldás
Az egyenletnek csak ott van értelme, ahol
44. ábra

44. ábra

45. ábra

45. ábra

A sin2 x -re vonatkozó összefüggés, illetve a tg x és ctg x definíciója alapján:
A törtek eltávolítása után:
8 · sin 2 x · cos 2 x = 3 · sin 2 x – 3 · cos 2 x .
Mivel sin 2 x = 1 – cos 2 x , ezért
8 · (1– cos 2 x ) · cos 2 x = 3 · (1 – cos 2 x ) – 3 · cos 2 x .
Rendezés után:
8 · cos 4 x – 14 · cos 2 x + 3 = 0 .
Az egyenlet cos 2 x -re nézve másodfokú, a megoldásai:
Az első esetben nem kapunk megoldást, hiszen cos 2 x1 .
A második esetben |cos x | = , azaz
Mindkét gyökrendszer (44. ábra, 45. ábra) kielégíti az eredeti egyenletet.
4. példa
Határozzuk meg a következő egyenlet gyökeit:
I. megoldás
Az ilyen típusú egyenleteknél hatékony módszer, ha arra törekszünk, hogy a bal oldalon álló két tag együtthatójának négyzetösszege 1 legyen. Ezért osszuk el az egyenlet mindkét oldalát -vel:
Az együtthatók ekkor úgy tekinthetők, mint egy alkalmasan megválasztott szög szinusza, illetve koszinusza:
46. ábra

46. ábra

Ez a szög az egységsugarú körben egyértelműen meghatározott: (46. ábra) . Így az egyenletünk a következő alakba írható:
A bal oldalon található kifejezés az addíciós tétel felhasználásával átírható:
Mivel az átalakítások során mindig ekvivalens egyenletek adódnak, így a kapott eredmények valóban megoldások lesznek.
Az x = 2 egyenletnek csak egy megoldása van, de a négyzetre emeléssel adódó x 2 = 4 egyenletnek már kettő: x 1,2 = ±2 .
A példában szereplő egyenletet megoldhatjuk úgy is, ha mindkét oldalt négyzetre emeljük. Ekkor azonban nagyon fontos, hogy a kapott eredmények mindegyikét ellenőrizzük, hiszen ez a lépés nem ekvivalens átalakítást jelent. Ebben az esetben ugyanis bővülhet a gyökök halmaza, és hamis gyökök léphetnek fel.
II. megoldás
Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve:
Az egyenlet jobb oldalán álló 1 helyére helyettesítsünk
sin 2 x + cos 2 x -et.
Innen két lehetőséget kapunk:
Az első esetből azt kapjuk, hogy ezt ellenőrizve azonban a megoldás csak az
A másik egyenlet alapján adódik, melyből kapjuk, hogy Ezek közül csak az lesz megoldása az egyenletünknek, melyről az ellenőrzés során győződhetünk meg.
5. példa
Mely valós számokra igaz a következő egyenlőtlenség:
47. ábra

47. ábra

Megoldás
Ábrázoljuk az egységsugarú körben a 2 x -re adódó lehetséges értékeket!
A 47. ábráról leolvasható, hogy a feltétel
esetén teljesül.
Az egyenlőtlenségnek eleget tevő feltételek megadásával azonban ügyelnünk kell arra, hogy a megadott intervallumok végpontjai megfelelően legyenek kijelölve. Azaz a bal oldali határ lehet de helyett -ot kell tekintenünk jobb oldali határként. Azaz:
Ebből az egyenlőtlenség megoldása:
Megjegyzés: Látható, hogy a 2 x -re vonatkozó feltétel megfogalmazásakor a periódust is figyelembe vettük, és azzal ugyanúgy számoltunk, mint a megadott intervallum végpontokkal! A kapott végeredményből látszik, hogy a sin2 x már nem 2 π , hanem π szerint lesz periodikus.
6. példa
Melyek azok a valós számok, melyekre: sin2 xcos x ?
Megoldás
A kétszeres szögekre vonatkozó összefüggést alkalmazva az egyenlőtlenség a következő alakra hozható:
2 · sin x · cos x cos x ,                     
                    0 cos x · (1 – 2 · sin x ) .
Figyelembe véve, hogy egy szorzat akkor és csak akkor nemnegatív, ha tényezői azonos előjelűek, ezért a következő két eset fordulhat elő:
a) Ha cos x0 és 1 – 2 · sin x0 , azaz cos x0 és
A feltételeket az egységsugarú körben ábrázolva (48. ábra) :
Ezek szerint:
A két intervallum metszete (49. ábra) :
Ha cos x0 és 1 – 2 · sin x0 , azaz cos x0 és
A feltételeket az egységsugarú körben ábrázolva (50. ábra) :
Ezek szerint:
52. ábra

52. ábra

A két intervallum metszete (51. ábra) :
Összefoglalva: az egyenlőtlenség megoldása (52. ábra) :
Kosárba helyezve!