A kosarad üres

Vásárlás

Darab: 0

Összesen: 0,00

0

Sokszínű matematika 10.

Tartalomjegyzék
7. Hasonló síkidomok területének aránya
Ebben a részben azt vizsgáljuk meg, hogy a hasonlósági transzformáció hogyan változtatja meg a síkidomok területét, azaz két hasonló síkidom területei hogyan aránylanak egymáshoz.
Definíció: Két hasonló alakzat hasonlóságának aránya az egymásnak megfelelő szakaszok hosszának aránya.
A hasonlóság aránya pozitív szám, értéke megegyezik az egyik alakzatot a másikba vivő hasonlósági transzformáció arányának abszolút értékével.
1. példa
Két négyzet közül az egyik oldalának hossza 4 cm-rel nagyobb a másikénál, területeik különbsége pedig 56 cm2. Számítsuk ki az oldalhosszak arányát. Hogyan aránylanak egymáshoz a területek?
Megoldás
Tudjuk, hogy bármely két négyzet hasonló egymáshoz.
Jelölje a kisebbik négyzet oldalát a. A területekre vonatkozó feltétel alapján:
         (a + 4)2a2 = 56,
a2 + 8a + 16 – a2 = 56,
               8a + 16 = 56,
                       a = 5.
A kisebbik négyzet oldala tehát 5 cm, a nagyobbiké 9 cm hosszú. Az oldalhosszak aránya (a két négyzet hasonlóságának aránya)
így , a területek aránya pedig
Négyzet esetében könnyen adódik, hogy a területek aránya az oldalhosszak arányának négyzete.
Vajon általánosan is érvényes-e, hogy hasonló síkidomok területének aránya a hasonlóság arányának négyzete? Ezt előbb háromszögekre, majd sokszögekre vizsgáljuk.
1. Tekintsük az ABC és A’B’C’ hasonló háromszögeket, legyen a hasonlóság aránya λ (58. ábra).
Ha a és ma az ABC háromszög egyik oldalának és a hozzá tartozó magasságnak a hossza, akkor a hasonlóságból adódóan az A’B’C’ háromszög megfelelő oldalának hossza λa, a hozzá tartozó magasság hossza pedig λma, mivel ABTΔ ~ A’B’TΔ. Így a területek aránya
azaz a hasonlóság arányának négyzete.
2. Tekintsünk a továbbiakban két hasonló sokszöget, a hasonlóság aránya legyen λ, a területeket pedig jelölje T, illetve T’. Mindkét sokszög háromszögekre bontható (az 59. ábrán két hasonló hatszög látható), így ezt az esetet vissza tudjuk vezetni a háromszögek esetére, mivel a megfelelő háromszögek is hasonlók és a hasonlóság aránya λ.
Legyen az egyes sokszögekben a felbontással kapott háromszögek száma k.
A megfelelő háromszögek területének aránya λ2, ezért
Bebizonyítható, hogy görbe vonalakkal határolt síkidomok esetén is érvényes a sokszögek területének arányára kapott összefüggés.
Tétel: Hasonló síkidomok területének aránya a hasonlóság arányának négyzetével egyenlő.
2. példa
Az ABC háromszög területét megfelezzük egy, a háromszög AB oldalával párhuzamos egyenessel. Milyen hosszú a területet felező egyenesnek a háromszögbe eső szakasza, ha AB = 6 cm? (60. ábra)
Megoldás
Mivel az eredeti és a levágott háromszög területének aránya 2, ezért a megfelelő oldalak aránya . Így a kérdéses szakasz hossza:
3. példa
Egy háromszög egyik oldalát 3 : 5 arányban kettéosztottuk. Az osztópontból párhuzamost húztunk a háromszög másik két oldalával. Az így kapott paralelogramma területe hogyan aránylik az eredeti háromszög területéhez?
Megoldás
Ha P jelöli az AB oldal megfelelő osztópontját, Q és R pedig a P-re illeszkedő párhuzamosoknak a BC illetve AC oldallal vett metszéspontját (61. ábra), akkor a megfelelő szögek egyenlősége miatt:
ABCΔ ~ APRΔ ~ PBQΔ.
Az APR és ABC háromszögek hasonlóságának aránya 3 : 8, így az APR háromszög területe része az ABC háromszög területének. Hasonlóan adódik, hogy a PBQ háromszög területe része az ABC háromszög területének. Így a PQCR paralelogramma területe
része az eredeti háromszög területének.
Kosárba helyezve!