A kosarad üres

Vásárlás

Darab: 0

Összesen: 0,00

0

Sokszínű matematika 10.

Tartalomjegyzék
8. Hasonló testek térfogatának aránya
Ebben a részben azt fogjuk vizsgálni, hogy hasonló testek térfogatának aránya milyen kapcsolatban van a hasonlóság arányával.
1. példa
Két kocka élhosszának különbsége 3 dm, térfogataik különbsége 37 dm3. Számítsuk ki a két kocka hasonlóságának arányát! Hogyan aránylanak egymáshoz a térfogatok?
Megoldás
Ha a jelöli a kisebbik kocka élének hosszát, akkor a térfogatok különbsége:
(a + 3)3a3 = 37.
A bal oldalon a köbre emelés elvégzése, majd rendezés után a-ra a következő másodfokú egyenlet adódik: 9a2 + 27a – 10 = 0. A megoldóképletet alkalmazva
Bármely két kocka hasonló egymáshoz.
Nekünk most természetesen csak a pozitív gyök felel meg, így a két kocka élhossza: dm és dm. A hasonlóság aránya 10.
A térfogatok aránya:
Kockák esetén könnyen adódik, hogy térfogataik aránya az oldalhosszak arányának köbével egyenlő. A következőkben két hasonló gúlánál számítjuk ki a térfogatok arányát.
n oldalú gúla
Emlékeztető
Ha egy n oldalú sokszögvonal minden pontját összekötjük egy, a sokszög síkján kívüli M ponttal, akkor n oldalú gúlát kapunk(62. ábra). Egy n oldalú gúlát tehát egy n oldalú sokszög és n darab háromszög határol.
Az n oldalú sokszög a gúla alaplapja. A háromszöglapok a gúla oldallapjai, ezek alkotják a gúla palástját.
A gúla magassága M-ből az alaplapra állított merőleges szakasz.
Ha a gúla magasságának hossza m, alaplapjának területe T, akkor a gúla térfogata:
A továbbiakban az egyszerűség kedvéért két hasonló négyoldalú gúlát tekintünk, és feltételezzük azt is, hogy ezek középpontosan hasonlók a közös M csúcsra nézve (63. ábra).
Ez utóbbi feltételezés nem jelent megszorítást, mert térbeli egybevágósági transzformációkkal a két gúla a megfelelő középpontosan hasonló helyzetbe hozható, és az egybevágósági transzformációk nem változtatják meg a testek térfogatát.
Legyen az ABCDM gúla alaplapjának területe T, magassága m, az A’B’C’D’M gúla alaplapjának területe T’, magassága m’, a középpontos hasonlóság aránya pedig λ. Belátjuk, hogy az ABCD és A’B’C’D’ négyszögek hasonlók.
A középpontos hasonlóság miatt világos, hogy a két négyszög megfelelő oldalainak aránya megegyezik, azaz
Bontsuk fel az AC, illetve az A’C’ átlókkal a négyszögeket háromszögekre (64. ábra).
Mivel
ezért ABCΔ ~ A’B’CΔ és ACDΔ ~ A’C’DΔ. Ebből viszont következik, hogy a megfelelő szögek is egyenlők, így az ABCD és A’B’C’D’ négyszögek megfelelő szögei is egyenlők. Teljesül tehát a sokszögek hasonlóságának szükséges és elegendő feltétele, azaz a két négyszög valóban hasonló. Ebből viszont a hasonló síkidomok területének arányára kimondott tétel szerint adódik, hogy
A középpontos hasonlóságból adódóan teljesül az is, hogy
Ezek alapján a két gúla térfogatának aránya:
Bizonyítható, hogy a gúlákra kapott fenti eredményünk bármely két hasonló test esetén érvényes.
Tétel: Hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának köbével egyenlő.
2. példa
Egy gúlából levágunk egy kisebb gúlát egy, az alaplappal párhuzamos síkkal úgy, hogy az a gúla magasságát a gúla csúcsától számítva 3 : 2 arányban osztja két részre. Számítsuk ki, hogy a levágott gúla elvétele után kapott csonkagúla térfogata hányad része az eredeti gúla térfogatának.
Megoldás
A sík a gúlát egy olyan sokszögben metszi, amelynek oldalai rendre párhuzamosak az alapsokszög oldalaival (65. ábra).
A párhuzamos szelők és a párhuzamos szelőszakaszok tételét alkalmazva a gúla minden egyes oldallapján, kapjuk, hogy az alapsokszög és a metszetsokszög megfelelő oldalainak aránya egyenlő. Ez viszont azt jelenti, hogy a metszetsokszög az alaplapnak a gúla csúcsára vonatkozó arányú középpontos hasonlósággal kapott képe. Így, ha V az eredeti, V’ a levágott gúla térfogata, akkor a megmaradt csonkagúla és az eredeti gúla térfogatának aránya
Kosárba helyezve!