A kosarad üres

Vásárlás

Darab: 0

Összesen: 0,00

0

Sokszínű matematika 11.

Az alábbi tartalmat jelenleg INGYENES hozzáféréssel tekinted meg.
Amennyiben szeretnél teljes hozzáférést az oldalhoz, kérlek, regisztrálj, jelentkezz be, és vásárold meg a szükséges elektronikus licencet vagy írd be a nyomtatott könyv hátuljában található kódot!
3. Mintavétel visszatevés nélkül
    (kiegészítő anyag)
Az előző leckében megismert szóhasználattal: a visszatevés nélküli mintavétel során a kihúzott termékeket a húzás után nem tesszük vissza, és úgy vizsgáljuk, hogy köztük hány „selejt” található.
húzás visszatevés nélkül a sorrendtől eltekintve
1. példa
Egy kalapban 1 és 2 forintosok vannak, 10 darab 1 forintos és 8 darab 2 forintos. Véletlenszerűen kiveszünk 5 érmét visszatevés nélkül. Mi a valószínűsége, hogy
a)
1 darab 1 forintost vettünk ki, a többi 2 forintos?
b)
legfeljebb 1 darab 2 forintost vettünk ki?
c)
legalább 1 darab 2 forintost vettünk ki?
d)
Játsszuk le az 5 érme húzását egymás után 50 -szer, és jegyezzük fel az 1 forintosok számát. Mekkora az 1 forintosok számának gyakorisága és relatív gyakorisága?
A kalapban levő 18 érme közül 5 -öt visszatevés nélkül, és a sorrendtől eltekintve -féleképpen lehet kihúzni, ez az összes eset száma.
Megoldás (a)
A 10 darab 1 forintos közül 1 -et -féleképpen választhatunk ki, a 8 darab 2 forintos közül 4 -et pedig különböző módon választha tunk ki, így a kedvező esetek száma összesen:
Annak a valószínűsége, hogy 1 darab 1 forintost és 4 darab 2 forintost húztunk:
Megoldás (b)
Legfeljebb 1 darab 2 forintost akkor húzunk, ha 5 darab 1 forintost és 0 darab 2 forintost húzunk vagy 4 darab 1 forintost és 1 darab 2 forintost. Ennek valószínűsége:
Annak a valószínűsége, hogy a kihúzott 5 érme közül k darab 1 forintos ( k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) :
Megoldás (c)
Ha legalább 1 darab 2 forintost húzunk, akkor a 2 forintosok száma lehet 1, 2, 3, 4 vagy 5 . Ennek valószínűsége:
n kísérlet esetén
a gyakoriság k ,
a relatív gyakoriság
Ugyanezt egyszerűbben kiszámolhatjuk az esemény komplementerének segítségével. Ha legalább 1 darab 2 forintost húzunk, akkor nem igaz, hogy nem húztunk 2 forintost, ennek valószínűsége:
Megoldás (d)
Egy lehetséges húzássorozat eredményeit tartalmazza a táblázat és ábrázolják a 7–8. ábrák grafikonjai.
1 forintosok száma 0 1 2 3 4 5
gyakoriság 0 6 17 18 9 0
relatív gyakoriság 0 0,12 0,34 0,36 0,18 0
valószínűség 0,0065  0,08   0,29   0,39   0,19  0,0294

2. példa
A lottóhúzás során 90 szám közül húznak ki 5 -öt. Egy szelvény kitöltésével tippelünk az 5 számra. Mennyi lehet a találataink száma, és mekkora valószínűséggel?
Megoldás
Annak a valószínűsége, hogy
k ( k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 ) találatunk lesz egy szelvénnyel:
Ahhoz, hogy biztosan legyen
5 találatosunk, 43 949 268 darab lottószelvényt kell kitölteni. Ha egy lottószelvény ára 150 Ft , akkor ez 6 592 390 200 Ft -ba kerül. Tehát nincs akkora nyeremény, hogy érdemes legyen az összes lehetőséget megjátszani. Ha mégis megjátszanánk, akkor az egy darab 5 találatos szelvényünk mellett lenne
5 · 85 = 425 db 4 találatos,
3 találatos,
2 találatos,

1 találatos szelvény.
Azonban még ezeket a nyereményeket összeszámolva sem térülne meg a szelvények árába befektetett pénz.
A találatok száma lehet 0; 1; 2; 3; 4; 5 . A 90 szám közül egyszerre 5 számot összesen = 43 949 268- féleképpen húzhatnak, mert a számok húzásának sorrendje nem számít. Összesen ennyiféleképpen lehet kitölteni egy lottószelvényt.

Mivel az 5 kihúzott számot egyféleképpen lehet eltalálni, az 5 találatos esélye egy szelvény esetén:
4 találatunk van, ha a kihúzott 5 szám közül választottunk 4 -et – ezt 5 -féleképpen tehettük meg, és a ki nem húzott 85 szám közül választottunk 1 -et – ezt 85 -féleképpen tehettük meg, tehát a kedvező esetek száma 5 · 85 .

Egy szelvény esetén a 4 találatos esélye:
3 találathoz az 5 kihúzott szám közül választottunk 3 -t – ezt -féleképpen tehettük meg, és a ki nem húzott 85 szám közül választot tunk 2 -t – ezt -féleképpen tehettük meg, így a 3 találatos esélye:
A 2 találat esélye ugyanígy:
Az 1 találat esélye:
Annak esélye, hogy nem lesz találatunk:
3. példa
Egy társasjátékban tombolaszelvényeket lehetett nyerni. 15 tombolát osztottak ki, és 5 nyereményt sorsolnak ki. Hányszorosára nő Gábor nyerési esélye, ha 2 tombola szelvényt kap egy helyett?
Megoldás
Ha Gábornak egy szelvénye van, akkor a nyerési esélye
Ha két szelvénye van, akkor kétféleképpen gondolkodhatunk.

Tekintsük először a játékot úgy, mintha adott lenne az 5 nyertes és a 10 nyeretlen szelvény, és Gábor 2 szelvényét választjuk ezek közül.

Gábor 2 szelvényét a 15 szelvény közül -féleképpen lehet kiválasztani.

Mindkét szelvény nyer, ha mindkettőt az 5 nyertes szelvény közül választjuk, ezt -féleképpen tehetjük meg.

Ha az egyik szelvény nyer, a másik nem, akkor az egyiket az 5 nyertes, a másikat pedig a 10 nyeretlen szelvény közül választjuk, ezt -féleképpen tehetjük meg. Így Gábor nyerési esélye:
ami -szerese az egy szelvénnyel nyerés esélyének. Tehát a kétsze resénél kevesebbre nő a nyerési esély, ha egy szelvény helyett kettőt kap.

Tekintsük most a játékot úgy, mintha adott lenne Gábor 2 szelvénye, és a többiek 13 szelvénye, és ezek közül húzunk ki 5 nyertes szelvényt.

A 15 szelvény közül 5 -öt -féleképpen választhatunk ki.

Ahhoz, hogy Gábor nyerjen, vagy 2 -t, vagy 1 -et az ő szelvényei közül kell húzni, ez lehetőség.

Ez alapján Gábor nyerési esélye
csakúgy, mint az előbbi gondolatmenettel.
*4. példa
Egy kalapban 8 fehér és 7 piros golyó van. Visszatevés nélkül kihúzunk 5 -öt.

Mi a valószínűsége, hogy a kihúzott golyók közül:
a)
az első 3 fehér, a többi nem?
b)
3 fehér és 2 piros golyót húztunk?
Megoldás (a)
A kérdésre úgy tudunk válaszolni, ha a golyók húzásának sorrendjét is figyelembe vesszük. Így az összes eset: a 15 golyó közül az elsőt 15 -féleképpen, a másodikat 14 , a harmadikat 13 , a negyediket 12 és az ötödiket 11 -féleképpen húzhatjuk, így a lehetőségek száma:
Az első 3 fehér golyót -féleképpen húzhatjuk, utána a két pirosat -féleképpen húzhatjuk, így a kedvező esetek száma:
Annak a valószínűsége, hogy az első 3 kihúzott golyó fehér, a többi nem:
húzások visszatevés nélkül, ha a húzás sorrendje is számít
Megoldás (b)
Most nincs meghatározva, hogy hányadikra húztunk fehéret és hányadikra pirosat, a 3 fehér és 2 piros golyó összes lehetséges sorrendjének száma:
Ezzel szorozni kell az előző pontban kapott kedvező eset számot.

Tehát annak a valószínűsége, hogy 3 fehér és 2 piros golyót húztunk:
Másképp is tekinthetjük a kísérletet. Mivel a feladatnak ebben a részében nincs kikötve, hogy a húzások sorrendje is számít, számolhatunk úgy is, hogy a sorrendtől eltekintünk. Ekkor a 3 fehér, 2 piros golyó húzásának valószínűsége:
Láthatjuk, hogy a kétféle módszerrel ugyanarra az eredményre jutottunk.
Kosárba helyezve!