Sokszínű matematika 12.

Az alábbi tartalmat jelenleg INGYENES hozzáféréssel tekinted meg.
Amennyiben szeretnél teljes hozzáférést az oldalhoz, kérlek, regisztrálj, jelentkezz be, és vásárold meg a szükséges elektronikus licencet vagy írd be a nyomtatott könyv hátuljában található kódot!
7. A gúla és a kúp térfogata
A gúlaszerű testek térfogatát célszerű a legegyszerűbbel, a háromszög alapú gúla térfogatának meghatározásával kezdeni. Ezeket a testeket a korábbiak alapján tetraédereknek nevezzük.
A tetraéder térfogata
Könnyű belátni, hogy minden tetraéder alkalmasan megválasztott élek és síkok segítségével hasábbá egészíthető ki. Egy ilyen kiegészítést mutat az ABCD tetraéder esetén a 49. ábra.

Az így keletkezett test térfogatát meg tudjuk határozni, hiszen egy ABC háromszög alapú hasábról van szó. Így a térfogat az alapterület és a magasság szorzatával egyenlő.

Ennek a testnek része a kiindulásként felvett tetraéder. A kiegészítés során felvett testek szintén tetraéderek lesznek. Ezeket jelölik ki a DEFC, valamint a BCDE pontok.

Itt nem részletezett okok miatt ezekre a testekre teljesül a korábban megfogalmazott Cavalieri-elv. Ez azt jelenti, hogy e három tetraéder térfogata megegyezik egymással. Mivel összegük éppen a hasáb térfogatát adja, így megállapíthatjuk, hogy az ABCD tetraéder térfogatát megkaphatjuk a következő képlet szerint:
a tetraéder térfogata
Itt T a tetraéder alapterületét, m a magasságának hosszát jelöli.
A gúla térfogata
Abban az esetben, ha az alap tetszőleges sokszög, már gúláról beszélhetünk. Mivel minden sokszög felbontható háromszögekre, ezért a gúlák is felbonthatók háromszög alapú gúlákra, azaz tetraéderekre.
Ha a keletkező háromszögek területeit rendre t1, t2,, tn jelöli, akkor ezek összege a T alapterületet határozza meg (50. ábra). Így bármely gúla térfogata:
a gúla térfogata
Akár a tetraédert, akár a sokszög alapú gúlákat tekintjük, a felszín meghatározása nem más, mint sokszögek, illetve háromszögek területeinek összegzése. Az oldallapokat meghatározó háromszögek együttesen alkotják a gúla palástját.
1. példa
Határozzuk meg egy szabályos tetraéder térfogatát és felszínét.
Megoldás
Jelöljük az élek hosszát a-val. Mivel a szabályos tetraéder minden lapja szabályos háromszög, és ezekből összesen négy alkotja a felszínt, ezért a teljes felszín nagysága:
A térfogat meghatározásához először meg kell adnunk a test magasságának hosszát. Ezt az 51. ábrán látható AED derékszögű háromszögben felírható Pitagorasz-tétel alapján adhatjuk meg.

A testmagasság talppontja az ABC szabályos háromszög E súlypontjába esik, ezért:
Ebből a magasság meghatározható:
Ezt felhasználva a szabályos tetraéder térfogata:
A kúp térfogata és felszíne
Mint ahogyan a hasáb térfogata alapján el lehet jutni a henger térfogatához, így a kúp térfogata is származtatható a gúlák térfogatából.

Nyilvánvaló, hogy amint nő a sokszög alapú gúla oldalainak száma, a gúla egyre jobban hasonlít majd egy kúphoz (52. ábra). Az sejthető, hogy a gúlákra vonatkozó térfogatképlet érvényes lesz majd a kúpokra is.

Ha tekintünk egy T alapterületű, m magasságú kúpot, akkor bebizonyítható, hogy a térfogatát a következő képlet határozza meg:
a kúp térfogata
Ez az összefüggés magasabb szintű matematikai eszközökkel tetszőleges kúpszerű testek esetén is igazolható.

Itt jegyezzük meg, hogy a korábban megadott hasábokra és kúpokra vonatkozó térfogatképletek abban az esetben is igazak lesznek, ha ferde hasáb, illetve ferde kúp térfogatát kell meghatároznunk.

A felszín meghatározása további problémákat vet fel. Itt elsősorban azt kell elfogadnunk, hogy a kúpok esetén az alapkör mellett a palást szintén síkban kiteríthető, és egy körcikket határoz meg. Ez annak köszönhető, hogy a forgáskúp minden alkotója egyenlő. (53. ábra)

Ez az alkotó határozza meg a körcikk sugarát, melynek íve az alapkör 2 · r · π kerületével egyezik meg. Így ennek területe:
Így egy forgáskúp teljes felszíne:
A = r2 · π + r · π · a, amiből
a kúp felszíne
2. példa
Mekkora a felszíne és a térfogata annak az egyenes körkúpnak, melynek palástja kiterítve egy 9 cm sugarú harmadkör?
Megoldás
Jelöljük a kúp alkotóját a-val, alapkörének sugarát r-rel, magasságát pedig m-mel. (54. ábra)

A palást területe a körcikk területképlete alapján meghatározható:
Mivel az alapkör kerülete megegyezik a palást által kijelölt körcikk ívének hosszával, ezért a kúp sugara ez alapján meghatározható:
A kúp felszíne tehát:
A = r2 · π + Tpalást28,27 cm2 + 84,82 cm2 = 113,09 cm2.
A térfogat megállapításához meg kell határoznunk a kúp magasságát. Ezt a Pitagorasz-tétel felírásával tehetjük meg:
Így a test térfogata:
Történetileg kideríthetetlen, ki fedezte fel a téglatest, a hasáb és a henger térfogatára vonatkozó összefüggést, de az bizonyos, hogy az egyiptomiak már ismerték és használták. Szigorú bizonyítást nem adtak rá, de tudtak róla és alkalmazták őket. A kúp térfogatáról azonban többet tudunk. Ezt Démokritosz fedezte fel, bár ő sem adott rá egzakt bizonyítást, az összefüggést egyszerűen kitalálta. Ezt később Platón egyik tanítványa, Eudoxosz igazolta.
*3. példa
Az egyenlő felszínű egyenes körkúpok közül melyiknek a térfogata a legnagyobb?
Megoldás
Jelöljük a kúp alkotóját a-val, alapkörének sugarát r-rel, magasságát pedig m-mel. A kúp felszíne: A = r · π · (r + a). Ebből kifejezhető az alkotó hossza:
Tudjuk, hogy a test magasságára teljesül a Pitagorasz-tétel:
m2 = a2r2.
Vizsgáljuk most meg a test térfogatát:
Ennek maximális értéke az r2 · m szorzat maximális értékétől függ. A kapott összefüggések miatt célszerűbb e szorzat négyzetét vizsgálni, hiszen ennek ugyanakkor lesz maximuma. Ezt felírva és a megfelelő helyettesítéseket végrehajtva:
Démokritosz (kb. Kr. e. 460–370) görög filozófus és matematikus, akinek nevét elsősorban az atomelmélet megalkotójaként tartjuk számon. Elmélete szerint az anyag egyre kisebb darabokra osztható, mígnem eljutunk az atomok szintjéig, melyek már oszthatatlanok.
Ez a kifejezés már csak az r értékétől függ. Ezt teljes négyzetté alakíthatjuk:
Ez a kifejezés akkor lesz maximális, ha a négyzetes tag nulla, azaz:
Használjuk most fel a kúp térfogatképletét. Így az alapkör sugara és az alkotó között a következő összefüggés adódik:
Ez azt jelenti, hogy az állandó felszínű forgáskúpok közül annak a térfogata a legnagyobb, melynek az alkotója háromszorosa az alapkör sugarának. Ekkor a test térfogatára a fentiek alapján, a felszín függvényében a következő adódik:
Feladatok
1.
Mekkora annak a szabályos gúlának a térfogata és felszíne, melynek az alapéle 10 cm, az oldalélei 20 cm hosszúak, az alapja pedig
a)
háromszög;
b)
négyszög;
c)
ötszög;
d)
hatszög?
2.
Egy egyenes körkúp adatai a következők:
a)
r = 5 cm, m = 6 cm;
b)
r = 6 cm, a = 10 cm;
c)
a = 10 cm, m = 8 cm.
Mekkora a kúp térfogata és felszíne?
3.
Egy szabályos gúla felszíne 100 cm2, az alaplapja 5 cm oldalélű négyzet. Mekkora a térfogata?
4.
Egy szabályos gúla térfogata 1000 cm3, az alaplapja 6 cm oldalú szabályos hatszög. Mekkora a gúla felszíne?
5.
Egy forgáskúp térfogata 1000 cm3, az alapkör sugara 10 cm. Mekkora a felszíne?
6.
Egy forgáskúp felszíne 100 cm2, az alkotója 10 cm. Mekkora a térfogata?
7.
Egy 10 cm élű kockába egy gúlát írunk úgy, hogy az egyik lapjának középpontját összekötjük a szemközti lap csúcsaival. Határozzuk meg az így keletkezett gúla felszínét és térfogatát.
8.
Határozzuk meg a 10 cm élű kocka lapközéppontjai által meghatározott test térfogatát és felszínét!
9.
Egy háromszög oldalainak hossza 3 cm, 4 cm és 5 cm. Ha megforgatjuk a hosszabb oldala körül, akkor mekkora a keletkező test térfogata és felszíne?
10.
  Egy szimmetrikus trapéz alapjai 14 cm és 8 cm, szárai 5 cm hosszúak. Forgassuk meg a trapézt
a)
a hosszabbik;
b)
a rövidebb alapja körül!
*11.
Forgassunk el egy a élű szabályos tetraédert az egyik magassága körül 60º-kal. Határozzuk meg az eredeti és az elforgatott tetraéder közös részének felszínét és térfogatát.
12.
  Az egyenlő térfogatú egyenes körkúpok között melyiknek a felszíne a legkisebb?
R e j t v é n y
Körülbelül hány tonna követ használhattak fel a Kheopsz piramis építői? (A mészkő sűrűsége 2,7 tonna köbméterenként.) Kheopsz fáraó ismereteink szerint 23 évig uralkodott. Hány köbméter követ kellett megmozgatniuk naponta, ha feltételezzük, hogy a piramis 23 évig épült?
Leckéhez tartozó extrák

A négyzet alapú gúla és a hasáb térfogatának kapcsolata

Kísérletünkben igazoljuk, hogy a hasáb térfogata a négyzet alapú gúla térfogatának háromszorosa.

A tetraéder térfogata

A tetraéder térfogatának meghatározásához a hasáb térfogatából indulunk ki.

A henger és a kúp térfogatának kapcsolata

Kísérletünkben azt igazoljuk, hogy a henger térfogata pont a kúp térfogatának háromszorosa.

A négyzet alapú gúla és a hasáb térfogatának kapcsolata

A tetraéder térfogata

A henger és a kúp térfogatának kapcsolata

Kosárba helyezve!