A kosarad üres

Vásárlás

Darab: 0

Összesen: 0,00

0

Sokszínű matematika 12.

8. A csonka gúla és a csonka kúp
Ha gúlaszerű testeket, illetve kúpokat az alaplappal párhuzamos síkkal elmetszünk, akkor csonka gúlát (56. ábra), illetve csonka kúpot (55. ábra) kapunk.
Az ábrák alapján könnyen megállapíthatjuk, hogy a keletkező síkmetszetek és az alaplap által meghatározott alakzatok hasonlóak lesznek. Ugyanis a test csúcsából mint középpontból nagyítva a síkmetszet az alaplapra képeződik le. Ez a tulajdonság fontos szerephez jut a csonka gúla térfogatának meghatározásában.
Ez egyben azt is jelenti, hogy a lemetszett kiegészítő gúla és az eredeti gúla is hasonlók lesznek egymáshoz. A két testet ugyanaz a középpontos nagyítás képezi le egymásra, amely a síkmetszetek leképezésénél használható.
1. példa
Hol metsszünk el egy négyzet alapú egyenes gúlát az alaplappal párhuzamos síkkal, hogy a térfogatát megfelezzük?
Megoldás
Legyen a metsző sík távolsága a gúla csúcsától x, a gúla magasságát pedig jelölje m. A célunk az, hogy meghatározzuk az hányados értékét. Ez a hányados nem más, mint annak a hasonlóságnak az aránya, mely az eredeti gúlát a lemetszett kiegészítő gúlába transzformálja. (56. ábra)

Jelöljük az eredeti gúla térfogatát V-vel, a lemetszett gúla térfogatát V1-gyel. Ezek aránya a feltételek szerint:
Korábbi ismereteink alapján tudjuk, hogy a hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának a köbével egyenlő, azaz
Ha két test hasonló és a hasonlóság aránya λ, akkor ez egyben bármely lineáris méretének aránya is. Az egymásnak megfelelő határoló lapok területének aránya λ2, míg a térfogatuk aránya λ3 lesz.
Ez alapján a kérdéses arány meghatározható:
Ez azt jelenti, hogy ha a térfogatot szeretnénk megfelezni, akkor a test magasságát a -ed részénél kell elmetszenünk az alaplappal párhuzamos síkkal.
A csonka gúla térfogata
A csonka gúla térfogatának meghatározásakor abból indulunk ki, hogy az előáll az eredeti gúla és a lemetszett gúla térfogatának különbségeként. Használjuk az 57. ábra jelöléseit.

Az eredeti test térfogata:
A levágott test térfogata:
Így a csonka gúla térfogata: V = V1V2,
magassága: m = m1m2.
Jelöljük a két gúla hasonlóságának arányát λ-val.
Felhasználva a hasonló testekre érvényes összefüggéseket:
A térfogatok különbsége:
Az első zárójeles kifejezést m2-vel, a másodikat pedig t-vel beszorozva:
A hasonlóság alapján felírt összefüggéseket felhasználva:
Így a csonka gúla térfogatára a következő összefüggés adódik:
a csonka gúla térfogata
A gúla felszínének meghatározásához a határoló lapok területének összegét kell kiszámolnunk. Ez a csonka gúla esetén három fő részre tagolható, az alap és fedőlap területére, valamint a palást területére:
a csonka gúla felszíne
2. példa
Egy szabályos négyoldalú csonka gúla alapélének hossza 32 cm, fedőlapjáé 20 cm, az odaléle pedig 14 cm hosszú. Mekkora a felszíne és térfogata?
Megoldás
Legyen a csonka gúla alaplapja az ABCD négyzet, a fedőlapja pedig az A1B1C1D1 négyzet. Jelölje a fedőlap merőleges vetületét az alaplapra A’1B’1C’1D’1. Mivel a csonka gúla szabályos, ezért ez a vetület az alaplap középpontjára szimmetrikusan helyezkedik el. Az oldalai az alapnégyzet oldalaival párhuzamosak lesznek. (58. ábra)
Az A’1B’1 egyenes a T pontban merőlegesen metszi a BC oldalt, ezért:
A BTB1 derékszögű háromszögből:
ez éppen az oldaltrapéz magassága, így ennek a területe:
Ennélfogva a csonka gúla felszíne:
A térfogat meghatározásához szükség van a magasság hosszára. Ezt meghatározhatjuk a B1TB’1 derékszögű háromszög felhasználásával.
A csonka gúla térfogatképletét felhasználva a test térfogata:
A csonka kúp térfogata
A csonka gúlák esetén megfogalmazott térfogatképlet abban az esetben is érvényes marad, ha ezeket csonka kúpokra alkalmazzuk. Megjegyezzük, hogy ha egy csonka kúpban az alapkör és fedőlap körének középpontját összekötő szakasz merőleges az alaplap síkjára, akkor egyenes csonka kúpról, ha ez nem teljesül, akkor ferde csonka kúpról beszélünk.

Ha a csonka kúp alapkörének sugara R, fedőlapjáé r, a magassága pedig m (59. ábra) , akkor az igazolt térfogatképlet alapján:
a csonka kúp térfogata
Az egyenes csonka kúp felszínének meghatározásakor azt kell figyelembe vennünk, hogy az alaplap és fedőlap mellett a palást is síkban kiteríthető, és a palást egy körgyűrűcikket határoz meg. (60. ábra)

A keletkezett körgyűrűcikk középvonala a két kör kerületének a számtani közepe:
a szélessége a csonka kúp a alkotója. Ezért a palást területe:
P = (R + r) · π · a.
Ezt felhasználva a csonka kúp felszíne:
a csonka kúp felszíne
Észrevehetjük, hogy elfajuló csonka kúp esetén (r = 0) mind a felszín-, mind a térfogatképlet a kúp térfogatát és felszínét adja meg.
3. példa
Adott egy egyenes csonka kúp m = 10 cm magassága,
a = 15 cm alkotója és V = 1000 · π cm3 térfogata. Mekkora az alaplap és fedőlap sugara?
Megoldás
Jelölje az alap- és fedőlap sugarát rendre R és r. Tekintsük a test tengelymetszetét, és ott jelöljük ki a 61. ábrának megfelelő ABC derékszögű háromszöget.

Az AC szakasz hossza nyilván Rr, és így a Pitagorasz-tétel alapján:
Másrészt a csonka kúp térfogatképlete alapján:
A kapott két egyenletet kivonva egymásból:
A kapott eredményt helyettesítsük vissza a térfogatra felírt összefüggésbe:
Átrendezve egy másodfokúra redukálható negyedfokú egyenletet kapunk:
Ebből előbb r2 –re, majd r-re két lehetséges megoldás adódik:
r1 = 3,87 cm, r2 = 15,05 cm.
Ezek alapján R is meghatározható (a két gyök ugyanazt a testet határozza meg):
R1 = 15,05 cm, R2 = 3,87 cm.
Feladatok
1.
Egy szabályos négyoldalú csonka gúla alapéle 1 dm, fedőlapjának éle 5 cm,
oldalélének hossza 20 cm.
a)
Mekkora a magassága?
b)
Mekkora a térfogata és a felszíne?
 
c) Mekkora szöget zárnak be a lapjai az alaplappal?
2.
Mekkora a négyoldalú szabályos csonka gúla térfogata és felszíne, ha
a)
az alapéle 10 cm, az oldaléle 5 cm, a magassága 4 cm;
b)
az alapéle 10 cm, az oldaléle 6 cm, a fedőlapjának éle 5 cm?
3.
Mekkora a csonka kúp térfogata és felszíne, ha
a)
az alaplap sugara 22 cm, a fedőlapé 14 cm, a magassága 3,4 cm;
b)
az alaplap sugara 113 cm, a fedőlapé 87 cm, az alkotója 140 cm;
c)
az alaplap sugara 45 cm, a magassága 28 cm, az alkotója 35 cm.
4.
Egy szimmetrikus trapézt megforgatunk a szimmetriatengelye körül. Mekkora a keletkező test térfogata és felszíne, ha a trapéz alapjai 6 cm és 4 cm, a szárai pedig 5 cm hosszúak?
5.
Egy négyzet alapú gúla alapéle 10 cm hosszú, magassága 8 cm. A testet a magasság felezőpontján átmenő, az alaplappal párhuzamos síkkal elmetsszük. Mekkora a két keletkező test térfogata és felszíne?
6.
Egy szabályos négyoldalú gúlát magasságának a felezőpontján átmenő és az alaplapjával párhuzamos síkkal kettévágunk. A keletkezett csonka gúla térfogata 336 cm3, magassága az eredeti gúla alapélének harmada. Mekkora a csonka gúla felszíne? Mekkora szöget zárnak be a csonka gúla oldallapjai az alaplap síkjával?
7.
Egy csonka kúp magassága 1 dm. Tudjuk, hogy a csonka kúpba gömb írható, és alapkörének sugara kétszerese a fedőlap köre sugarának. Mekkora a test térfogata és felszíne?
8.
Egy egyenes csonka kúp palástja 2000 cm2, az alkotók az alappal 60º-os szöget zárnak be, a fedőlap sugara harmadrésze az alap sugarának.
a)
Mekkora az alap- és fedőlap sugara?
b)
Mekkora a test magassága és térfogata?
9.
Egy egyenes csonka kúp felszíne 500 dm2, palástja 300 dm2, alkotója 10 dm. Mekkora a térfogata?
10.
  Csonka kúp palástja kiterítve olyan körgyűrűcikk, melynek területe 200 cm2, a középponti szöge 120º, és a külső sugár a belsőnek kétszerese. Mekkora a csonka kúp térfogata?
Kosárba helyezve!