A kosarad üres

Vásárlás

Darab: 0

Összesen: 0,00

0

Sokszínű matematika 11.

Az alábbi tartalmat jelenleg INGYENES hozzáféréssel tekinted meg.
Amennyiben szeretnél teljes hozzáférést az oldalhoz, kérlek, regisztrálj, jelentkezz be, és vásárold meg a szükséges elektronikus licencet vagy írd be a nyomtatott könyv hátuljában található kódot!
W. R. Hamilton (1805–1865) ír matematikus, csillagász és fizikus volt az, aki először használta a vektor kifejezést. Tehetsége nem csak a természettudományok területén volt kiváló. Ötéves korában már olvasott görögül, héberül és latinul, 12 évesen pedig 12 nyelven beszélt!
1. Vektorműveletek rendszerezése,
    alkalmazások (emlékeztető)
Korábbi tanulmányaink során számos, vektorokkal kapcsolatos fogalommal és művelettel ismerkedtünk meg.
A vektor abszolútértéke a hosszát jelenti. A nullvektor abszolútértéke 0 , iránya tetszőleges lehet.
Ha a sík vagy a tér pontjait egy rögzített pontból: a vonatkoztatási pontból kiinduló vektorokkal jelöljük ki, akkor ezeket a vektorokat helyvektoroknak nevezzük.
Ismerjük a vektorok összegének és különbségének meghatározási módjait. Azt is tudjuk, hogyan kell vektorokat valós számmal szorozni (1. ábra) .
Tisztáztuk, hogy ezekre a műveletekre teljesülnek a következő szabályok:
(1) A vektorok összeadása kommutatív és asszociatív művelet (2. ábra) .
+ = + ;
( + ) + = + ( + ) .

A vektor elnevezés a csillagászatból került át a matematikába. Ott az ellipszis fókuszában álló Napból a bolygókhoz húzott irányított szakasz elnevezésére szolgált (vectus = húzni, vonni).
(2) A valós számmal való szorzás esetén teljesülnek a következő tulajdonságok:
μ · ( λ · ) = ( μ · λ ) · = λ · ( μ · ) ;
   ( λ + μ ) · = λ · + μ · ;
λ · ( + ) = λ · + λ
Az és vektorokból a fentiek szerinti értelmezés alapján előállított
= α · + β ·
vektort az és vektorok lineáris kombinációjának nevezzük.
Beláttuk, hogy ha és nem párhuzamos vektorok és tetszőleges velük egysíkú vektor, akkor előállítható
= α · + β ·
alakban, ahol α és β egyértelműen meghatározott számok.
Ennek a tulajdonságnak a térbeli megfelelője: ha , és nem egy síkkal párhuzamos vektorok és egy tetszőleges vektor, akkor előállítható
= α · + β · + γ ·
alakban, ahol α , β és γ egyértelműen meghatározott valós számok.
Egy adott AB szakaszt AR : RB = p : q arányban osztó R pont helyvektora kifejezhető a szakasz végpontjaiba mutató helyvektorok segítségével (3. ábra) :
1. példa
Egy szabályos ABCDEF hatszög A csúcsából a szomszédos csúcsokba mutató helyvektorok legyenek: és . Fejezzük ki a többi csúcspontba mutató helyvektorokat ezekkel a helyvektorokkal!
Megoldás
A 4. ábrán Mivel a sokszög szabályos, ezért a középpontjába mutató helyvektor:
Könnyen látható, hogy a C pont helyvektorára:
Ugyanakkor a D pontba mutató vektor:
Az E pont helyvektora pedig:
2. példa
ABCD négyszög síkjában szerkesszük meg azt a pontot, amelyből a négyszög csúcsaiba mutató helyvektorok összege nullvektor.
Megoldás
Olyan O vonatkoztatási pontot keresünk, amelyből induló helyvektorokra: Alakítsuk át az összeget:
Tudjuk, hogy az
vektorok a megfelelő oldal felezési pontjaiba mutatnak, és ezeknek az összege csak abban az esetben lesz nullvektor, ha egymással ellentétesek és egyező nagyságúak.
Így a keresett megfelelő vonatkoztatási pont a négyszög középvonalainak metszéspontjában található. Ez egyben a középvonalak felezőpontja is. (5. ábra)
10. osztályban bizonyítottuk, hogy a háromszög csúcspontjába mutató helyvektorokkal a háromszög súlypontjának helyvektora kifejezhető (6. ábra) :
3. példa
Válasszuk vonatkoztatási középpontnak a háromszög körülírható körének középpontját. Milyen pontba mutat a csúcspontok helyvektorainak összege?
Megoldás
Először adjuk össze az A és B pontokba mutató helyvektorokat. Ezek összege merőleges lesz a háromszög AB oldalára. (7. ábra)
Ezt a vektort adjuk hozzá a C pont helyvektorához.
A szerkesztés alapján látható, hogy az ( + ) + =
= + + vektor által kijelölt pont illeszkedik a C ponton áthaladó magasság egyenesére.
Ha a vektorokat más sorrendben adjuk össze, akkor hasonlóan mutatható meg, hogy ez a végpont a B csúcson áthaladó magasságegyenesen is rajta lesz.
Mivel egyetlen olyan pont létezik (a háromszög M magasságpontja), amelyik mindegyik magasságvonalon rajta van, ezért az + + vektor által kijelölt pont éppen a magasságpont.
A korábban igazolt – súlypontra vonatkozó – összefüggés és a 3. példa megoldása alapján a következő tételt fogalmazhatjuk meg:
Tétel: Egy háromszög köré írható körének O középpontja, S súlypontja és M magasságpontja mindig egy egyenesen helyezkedik el, ahol az S pont az OM szakasz harmadolópontja:
Bizonyítás
Válasszuk vonatkoztatási középpontnak a háromszög köré írható kör O középpontját, és írjuk fel ebből a pontból az S súlypontba és az M magasságpontba mutató helyvektorokat:
A két összefüggés alapján adódik, hogy azaz ez a két vektor egyirányú, és a hosszuk közötti kapcsolat azt jelenti, hogy az S pont harmadolópontja lesz az OM szakasznak. (8. ábra)
Leonhard Euler (1707–1783) svájci matematikus. Minden idők egyik legsokoldalúbb és legtöbb eredményt felmutató gondolkodója. Kutatásait Berlinben kezdte, de életének nagy részét Katalin cárnő udvarában, Szentpéterváron töltötte, ahol élete végén már teljesen vakon diktálta inasának matematikai dolgozatait. Svájcban elkezdték kiadni műveit, több mint 70 nagy alakú kötetet. Elmondhatjuk róla, hogy úgy írt matematikai műveket, mint ahogyan Jókai regényeket.
Ezt az egyenest nevezzük a háromszögek Euler-egyenesének.
A tétel alapján könnyen adódik az alábbi állítás.
Következmény: Az M magasságpont kétszer akkora távolságra van a C csúcstól, mint az O köré írható kör középpontja a c oldaltól, azaz MC = 2 · OF C .
A 8. ábrán látható, hogy OSF C Δ ~ MSC Δ, mivel szögeik megegyeznek.
( OSF C= MSC ∢ és OF CMC .) A hasonlóság aránya (az előző tétel miatt).
Természetesen ez az állítás bármely csúcs és oldalpár esetén megfogalmazható.
Kosárba helyezve!