A kosarad üres

Vásárlás

Darab: 0

Összesen: 0,00

0

Sokszínű matematika 11.

2. A skaláris szorzat
A tudományok terén az új eljárások csak akkor bizonyulnak életképesnek, ha több eredménnyel kecsegtetnek, és használatuk egyszerűbb, mint az elődeiké. A matematika számos eredményét használják az élet különböző területein. Ezek segítségével kaphatunk válaszokat az újabb és újabb kérdésekre.
Gyakran előfordult azonban az is, hogy a matematika kapott inspirációt más tudományterületekről. Ilyen példát szolgáltat a fizikából megismert munka fogalma.
Meglepő, de a fizika szerint nem végez munkát az a vízhordó, aki a kútról egyenletes sebességgel viszi a vizet a házba.
Tudjuk, hogy munkavégzésről akkor beszélünk, ha egy erő hatására elmozdulás történik. Ennek nagyságát a következő formulával határozhatjuk meg: W = F · s · cos α . (9. ábra)
Az ebben a képletben szereplő F erő és s elmozdulás vektormennyiségek, mert mindkettőhöz irány és nagyság is tartozik. A két vektor által bezárt szög nagyságát jelöljük α -val. A kapott eredmény, a munka viszont nem rendelkezik iránnyal, azaz skalármennyiség.
Többek között ezt az összefüggést figyelembe véve tűnt logikusnak egy olyan művelet bevezetése, melyet eddig a vektorok között nem alkalmaztunk.
Legyen és két vektor. Ezek hajlásszögét megkaphatjuk, ha közös kezdőpontból felmérjük őket, és az általuk bezárt konvex szöget meghatározzuk. (10. ábra)
10. ábra

10. ábra

A két vektor hajlásszögére tehát fennáll:
α 180° .
A két vektorhoz a következő szabály szerint rendelünk hozzá egy számot.
skaláris szorzat
Definíció: : Két vektor skaláris szorzatán értjük azt a valós számot, melyet úgy kapunk, hogy a két vektor abszolútértékét és bezárt szögük koszinuszát összeszorozzuk:
  · = | | · | | · cos α .
Az elnevezés arra utal, hogy a skaláris szorzat rendelkezik a valós számok körében megismert szorzás néhány tulajdonságával.
A definícióból közvetlenül adódnak a következők:
(1)
kommutativitás
· = · , azaz a skaláris szorzat kommutatív.
(2)
  ( λ · ) · = λ · ( · ) = λ · · = · ( λ · ) , ahol
λ tetszőleges valós számot jelöl.
(3)
· = | | · | | · cos0° = | | 2 . Az · jelölés helyett megszokott az 2 alkalmazása. Így adódik, hogy
| | = azaz egy vektor hossza a négyzetének a négyzetgyökével egyenlő.
Könnyen beláthatjuk, hogy ezzel szemben nem teljesül a valós számok szorzásánál megismert asszociatív tulajdonság, azaz általában:
( · ) · · ( · ).
Ennek magyarázata, hogy a zárójelbe tett két vektor skaláris szorzata egy-egy valós szám, és így a bal oldalon álló kifejezés a irányába, míg a jobb oldalon álló az irányába mutató vektort ad eredményül.
11. ábra

11. ábra

12. ábra

12. ábra

1. példa
Adjunk meg olyan helyzetű , és vektorokat, hogy teljesüljön a következő egyenlőség:
( · ) · = · ( · ) .
Megoldás
a)
Az egyenlőség teljesülni fog minden olyan vektorhármasra, amelyek egymással párhuzamosak. Ez a feltétel elégséges, de nem szükséges. (11. ábra)
b)
Elegendő az egyenlőséghez csak azt megkövetelnünk, hogy az és legyenek párhuzamosak. (12. ábra)
Természetesen további speciális eseteket is kereshetünk.
2. példa
Vizsgáljuk meg, milyen feltételek esetén teljesül, hogy két vektor skaláris szorzata 0 , azaz mikor lesz · = 0 ?
Megoldás
Mivel · = | | · | | · cos α , ezért ez a szorzat akkor és csak akkor lesz 0 , ha cos α = 0 , vagy a vektorok között van olyan vektor, amelynek abszolútértéke 0 , azaz nullvektor.
Tudjuk, hogy a cos α = 0 csak α = 90° esetén (0° ≤ α 180°) következik be, a nullvektor pedig minden vektorra merőleges, ezért megfogalmazhatjuk a következő tételt.
· = 0
Tétel: Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor 0 , ha merőlegesek egymásra.
Mivel a cos α hegyesszögek esetén pozitív, tompaszögekre pedig negatív, a skaláris szorzat akkor pozitív, ha α hegyesszög, és akkor negatív, ha α tompaszög. (13. ábra)
A természet vizsgálata során gyakran találkozunk olyan vektormennyiségekkel, melyek mindig merőlegesek egymásra. Ilyen például egy mágneses mezőben mozgó töltésre ható erő, amely mindig merőleges a mozgó töltés sebességére. E tulajdonság következtében csodálhatják meg a Föld északi országaiban élők az Aurora borealis (sarki fény) jelenségét.
13. ábra

13. ábra

3. példa
Legyen | | = 3 , | | = 4 , tudjuk még, hogy · = Mekkora a két vektor által bezárt szög?
Megoldás
Mivel · = | | · | | · cos α , ezért
Ebből adódik, hogy:
ami azt jelenti, hogy a két vektor által bezárt szög 150° lesz.
4. példa
Tekintsünk most két olyan vektort, melyek közül az egyik legyen egységvektor, azaz | |= 1 . AAAVizsgáljuk meg, mit kapunk hegyes-, illetve tompaszögek esetén, ha ezeket a vektorokat összeszorozzuk.
Megoldás
Az ábrák alapján megállapíthatjuk, hogy egy vektornak az egységvektorral való skaláris szorzata a vektornak az egységvektor egyenesén levő előjeles vetületével egyenlő. (14. ábra)
14. ábra

14. ábra

15. ábra

15. ábra

Így előállíthatunk olyan vetületvektorokat is, melyek az egységvektor egyenesére illeszkednek, és hosszuk éppen az adott merőleges vetületével egyeznek meg. (15. ábra)
Itt az vetületvektort előállító formula: = ( · ) · ,
ahol a zárójelben található · egy valós számszorzót jelöl, ezért itt a zárójelnek fontos szerepe van, és nem hagyható el.
Ezek segítségével bizonyítható a skaláris szorzat egyik fontos tulajdonsága, a disztributivitás, azaz:
disztributivitás
( + ) · = · + · .
5. példa
Igazoljuk, hogy egy paralelogramma átlói akkor és csak akkor merőlegesek egymásra, ha a paralelogramma rombusz.
16. ábra

16. ábra

Megoldás
Legyen a paralelogramma egyik csúcsából induló két vektor
és .
A két átló ezek segítségével előállítható az ábrának megfelelően
+ és alakban. (16. ábra)
Tekintsük a két átló által meghatározott vektorok skaláris szorzatát:
( + ) · ( ) = 2 2 = | 2 – | | 2 .
Ez a szorzat akkor és csak akkor lesz 0 , azaz az átlók akkor és csak akkor lesznek merőlegesek egymásra, ha | | = | | .
Ez pedig azt jelenti, hogy a paralelogramma oldalainak hossza egyenlő, vagyis rombusz.
Kosárba helyezve!