A kosarad üres

Vásárlás

Darab: 0

Összesen: 0,00

0

Sokszínű matematika 11.

3. Skaláris szorzat a koordináta-rendszerben
Tudjuk, hogy az égen pontosan kijelölhetünk egy csillagot vagy a Földön egyértelműen meghatározhatunk egy helyet, ha megadjuk a megfelelő koordináta-rendszerben az adott objektumokhoz hozzárendelhető koordinátákat.
17. ábra

17. ábra

Ezeket a pozíciókat adhatjuk meg a megfelelő helyvektorok segítségével is. A helyvektorok viszont kifejezhetők a koordináta-rendszer bázisvektorainak lineáris kombinációjával is, melyek egyértelműen felírhatók a ponthoz tartozó koordináták segítségével. (17. ábra)
Egy tetszőleges helyvektor ezek szerint a bázisvektorok segítségével a következő alakban adható meg:
= x i + y j .
A kölcsönös megfeleltetés alapján adódik, hogy a helyvektort is és az általa kijelölt pontot is jellemezhetjük az ( x ; y ) koordináta­párral. Ezt jelölésekben a következő alakban fejezzük ki:
18. ábra

18. ábra

P ( x ; y ) vagy ( x ; y ) .
Egy helyvektor hosszát könnyen megkaphatjuk, ha alkalmaz­zuk Pitagorasz tételét az ábrán látható derékszögű háromszögre. (18. ábra)
Így adódik, hogy
| | =
1. példa
Számítsuk ki az (8; –6) vektor hosszát.
I. Megoldás
19. ábra

19. ábra

Ha a vektort a koordináta-rendszerben origó kezdőpontú reprezentánsával szemléltetjük, akkor végpontjának koordinátái (8; –6) . (19. ábra)
Az ábrán jól látható, hogy az hossza egy olyan derékszögű háromszög átfogójának hossza, amelynek befogói 6 , illetve 8 egység hosszúak. Alkalmazzuk Pitagorasz tételét.
| | =
II. Megoldás
Mint ahogy azt már korábban láttuk, egy vektor önmagával vett skaláris szorzata a definíció alapján a vektor abszolútértékének négyzetével egyenlő. Így
| | 2 = · = 8 2 + (–6) 2 = 100 , ahonnan | | = 10 .
Általánosan: ( a 1 ; a 2 ) vektor hossza (abszolútértéke):
| i |=| j | = 1 és i · j = 0
| | =
± =
= ( a 1 ± b 1 ) i + ( a 2 ± b 2 ) j
λ · = ( λ · a 1 ) i + ( λ · a 2 ) j
A bázisvektorokról tudjuk, hogy egységvektorok és egymásra merőlegesek. Ebből következik, hogy skaláris szorzatuk 0 .
Ismert, hogy a vektorok közötti műveletek a koordináták segítségével is meghatározhatók.
Vizsgáljuk meg, hogy milyen kapcsolat van a koordináták és a vektorok skaláris szorzata között!
20. ábra

20. ábra

Tekintsünk két vektort a koordináta-rendszerben az ábrának megfelelően (20. ábra) .
Alkalmazva a skaláris szorzat műveletének tulajdonságait:
· = ( a 1 i + a 2 j ) · ( b 1 i + b 2 j ) =
= a 1 b 1 i 2 + a 1 b 2 ij + a 2 b 1 ji + a 2 b 2 j 2 .
Most használjuk fel, hogy i 2 = j 2 = 1 és i · j = 0 , ezért a jobb oldali kifejezésben található két középső tag értéke 0 , vagyis a skaláris szorzat a koordináták segítségével a következő egyszerű alakot ölti:
· = a 1 b 1 + a 2 b 2 .
Alkalmazzuk a skaláris szorzat definícióját:
· = | | · | | · cos α = · cos α .
Az eredmény lehetőséget teremt két vektor hajlásszögének meghatározására a koordináta-rendszerben, ugyanis:
· cos α = a 1 b 1 + a 2 b 2 .
Ebből adódik, hogy a két vektor hajlásszögére igaz, hogy:
két vektor hajlásszöge
2. példa
Határozzuk meg az x értékét, ha tudjuk, hogy az (3; 2) és a ( x ; –2) vektorok merőlegesek egymásra.
Megoldás
Mivel a két vektor merőleges, ezért a skaláris szorzatuk 0.
A koordináták segítségével ezt kifejezve:
· = 3 x + 2 · (–2) = 3 x – 4 = 0 .
Az egyenletből x -et kifejezve adódik, azaz:
3. példa
Mekkora szöget zárnak be egymással az (3; 0) és a
(1; ) vektorok?
Megoldás
21. ábra

21. ábra

Írjuk fel a vektorok skaláris szorzatát a koordináták, majd a definíció segítségével:
Mivel a két érték meg kell, hogy egyezzen, ezért:
Ebből adódik a két vektor által bezárt szög: α = 60° . (21. ábra)
*4. példa
Igazoljuk, hogy tetszőleges valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség:
Megoldás
Vegyük észre, hogy az egyenlőtlenségben szereplő kifejezések megtalálhatók a vektorok skaláris szorzatának felírásában is.
Tekintsük a következő két vektort: ( a ; c )-t és ( b ; d ) -t. Írjuk fel ezek skaláris szorzatát mindkétféleképpen:
Az egyenlőtlenség felírásakor figyelembe vettük a koszinuszfüggvény értékkészletét, azaz hogy cos α1 . Ez igazolja az állításunkat.
Érdemes még megvizsgálnunk, hogy milyen feltételek esetén teljesül az egyenlőség. Ez akkor igaz, ha cos α = 1 , azaz α = 0° . A felírt vektorokra ez a feltétel azt jelenti, hogy azok egyirányú vektorok, vagyis az egyikből a másikat elő tudjuk állítani alkalmas pozitív valós számmal való szorzással.
Legyen ez a valós szám λ0 .
Ekkor ( a ; c ) = λ · ( b ; d ) . Így a megfelelő koordinátákra is teljesül, hogy
adódik az egyenlőség feltételeként, ha egyik nevező sem 0 .
Könnyen látható, hogy b = 0 esetén a = 0 -át, illetve
d = 0 esetén c = 0 -át kapunk.
Megjegyzések:
1.
22. ábra

22. ábra

A tér bármely vektora egyértelműen állítható elő egy térbeli koordináta-rendszer bázisvektorainak lineáris kombinációjaként. (22. ábra)
Az i , j és k bázisvektorokra teljesül, hogy
i 2 = j 2 = k 2 = 1 ;
i · j = i · k = j · k = 0 .
2.
Egy hossza (abszolútértéke):
| | =
3.
Két vektor skaláris szorzata, ha = x 1 · i + y 1 · j + z 1 · k , = x 2 · i + y 2 · j + z 2 · k :
· = | | · | | · cos ϕ ,
ahol ϕ a két vektor által bezárt szög, vagy
· = x 1 · x 2 + y 1 · y 2 + z 1 · z 2 .
4.
A 4. példában alkalmazott módszerrel igazolható, hogy tetszőleges x 1 , x 2 , y 1 , y 2 , z 1 , z 2 valós számokra teljesül:
Kosárba helyezve!