A kosarad üres

Vásárlás

Darab: 0

Összesen: 0,00

0

Sokszínű matematika 11.

Az alábbi tartalmat jelenleg INGYENES hozzáféréssel tekinted meg.
Amennyiben szeretnél teljes hozzáférést az oldalhoz, kérlek, regisztrálj, jelentkezz be, és vásárold meg a szükséges elektronikus licencet vagy írd be a nyomtatott könyv hátuljában található kódot!
5. A koszinusztétel
A derékszögű háromszögekre ismert a 2 + b 2 = c 2 összefüggést Pitagorasz nevéhez kötjük, de a tételt már jóval korábban Egyiptomban és Babilóniában is használták. Hasonló problémákkal foglakozik J. M. Regiomontanus (1436–1476) német matematikus, csillagász és könyvnyomdász
Öt könyv mindenfajta háromszögekről című műve.
Ettől kezdve szokás a trigonometriát a matematika önálló részeként kezelni. A szerző élete jelentős részét Bécsben töltötte, de négy éven keresztül a Mátyás király által alapított pozsonyi egyetemen is tanított. Állítólag tőle származik az ókor utáni első
szélsőérték-feladat:
A Föld felszínének melyik pontjából látszik egy függőlegesen felfüggesztett rúd a leghosszabbnak, azaz a legnagyobb látószögűnek?
28. ábra

28. ábra

Egy háromszög hiányzó adatainak meghatározása bizonyos esetekben nem számít nehéz feladatnak. Ha például a háromszög derékszögű, akkor az oldalai között kapcsolatot teremt Pitagorasz tétele. Eszerint egy derékszögű háromszög esetén a befogók négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével:
a 2 + b 2 = c 2 .
Nyilvánvaló, hogy abban az esetben, ha a c oldallal szemben hegyesszög van, akkor az egyenlőségből a következő egyenlőtlenség adódik:
a 2 + b 2 > c 2 .
Míg tompaszög esetén:
a 2 + b 2 < c 2 .
Felmerülhet a kérdés, hogy át lehet-e alakítani az egyenlőtlenséget úgy, hogy általános háromszögre alkalmazható egyenlőséget kapjunk.
Az összefüggéshez a vektorok skaláris szorzatának alkalmazásával juthatunk el. Tekintsünk egy tetszőleges háromszöget, és irányítsuk az oldalait a 28. ábrán látható módon.
Mivel , ezért ezt az egyenlőséget négyzetre emelve a következő adódik:
Jelöléseink alapján:
A kifejezéseket az egyenletünkbe helyettesítve adódik, hogy:
c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab · cos γ .
Hasonlóan kaphatjuk meg a háromszög bármelyik oldalára ezt a kapcsolatot:
a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc · cos α ;
b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac · cos β .
A kapott összefüggés a koszinusztétel, mely szerint:
c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab · cos γ
koszinusztétel
Tétel: Egy háromszög egyik oldalhosszának négyzetét megkaphatjuk, ha a másik két oldal hossza négyzetének összegéből kivonjuk a két oldal hosszának és a közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.
Ha γ = 90° , azaz a háromszög derékszögű, akkor cos90° = 0 miatt a koszinusztétel Pitagorasz tételébe megy át. Vagyis a Pitagorasz-tétel a koszinusztétel speciális esete.
Ha viszont egy háromszögről tudjuk, hogy a 2 + b 2 = c 2 , akkor azt kapjuk, hogy:
2 ab · cos γ = 0 ,
cos γ = 0 ,
γ = 90° ,
tehát a háromszög derékszögű. Ez a gondolatmenet igazolja Pitagorasz tételének megfordítását, melyet a következő módon mondhatunk ki:
Pitagorasz tételének megfordítása
Tétel: Ha egy háromszögben két oldalhossz négyzetének összege egyenlő a harmadik oldalhossz négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.
29. ábra

29. ábra

1. példa
Egy háromszög oldalainak hossza: a = 2 , b = 4 és c = 3 . Határozzuk meg a szögeit!
Megoldás
Jelöljük a háromszög szögeit a szokásos módon (29. ábra) . Írjuk fel a koszinusztételt a háromszög a oldalára vonatkozóan:
a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc · cos α .
Ebből az α szögre adódik, hogy 2 bc · cos α = b 2 + c 2 a 2 , ahonnan:
Ebből: α 28,96° .
A háromszög egy másik szögét hasonló úton kaphatjuk meg:
Ebből: β 104,48° .
A harmadik szög a belső szögek összege alapján:
γ = 180° – 28,96° – 104,48° = 45,56° .
2. példa
A szegedi dóm toronyórájának nagymutatója 3 m , a kismutató hossza pedig 2 m . Milyen távol lesznek a mutatók végpontjai egymástól pontban 8 órakor?
Megoldás
8 órakor a mutatók által bezárt szög:
A koszinusztétel alapján a mutatók végének távolsága:
d 2 = 3 2 + 2 2 – 2 · 2 · 3 · cos120° = 19 , amiből d 4,36 m .
30. ábra

30. ábra

3. példa
Egy ABCD négyszögben ismerjük az AB = 32 szakasz hosszát és az ábrán jelölt szögeket: α = 67° , β = 41° , γ = 38° és δ = 80° . Határozzuk meg a CD oldal nagyságát. (30. ábra)
Megoldás
Célszerű meghatározni az ACD háromszög AC és AD oldalát, hiszen az általuk bezárt szög ismeretében a koszinusztételt felhasználva a CD oldalt kiszámíthatjuk.
A szögeket felhasználva, az ABD háromszög D -nél levő szöge 34° , így
Az ABC háromszögben a C -nél levő szög 21° , így:
Ezek után az ACD háromszögben a koszinusztétel szerint:
CD 2 = 35,23 2 + 78,84 2 – 2 · 35,23 · 78,84 · cos67° ≈ 5286,36 .
Ebből:
4. példa
Egy háromszög két oldalának aránya 3 : 2 , az általuk bezárt szög 60° , a harmadik oldala c = 30 cm . Mekkorák az ismeretlen oldalak és szögek?
Megoldás
Az oldalak arányának ismeretében jelöljük ezeket a következőképpen:
a = 3 x , b = 2 x . Írjuk fel a koszinusztételt az ismert szöget figyelembe véve:
Ebből:
Így a hiányzó két oldal nagysága:
Ezek ismeretében a háromszög egy másik szöge meghatározható:
A háromszög harmadik szögének nagysága:
β = 180° – 60° – 79° = 41° .
A háromszögekre kimondott két trigonometrikus tétellel kapcsolatban bebizonyítható, hogy nem függetlenek egymástól. A szinusztételből levezethető a koszinusztétel, és megfordítva. Emiatt mindig a feladat jellegéből és az abban szereplő adatoktól függ, hogy melyiket alkalmazzuk a megoldás során.
  Alapesetek (adatok)   Tétel   Kiszámítható hiányzó adat
  egy oldal és két szög   szinusz   hiányzó oldal
  két oldal és a nagyobbal
  szemközti szög
  szinusz   kisebb oldallal
  szemközti szög (hegyesszög)
  két oldal és az általuk bezárt szög   koszinusz   a harmadik oldal
  három oldal   koszinusz   egy szög

Kosárba helyezve!