A kosarad üres

Vásárlás

Darab: 0

Összesen: 0,00

0

Sokszínű matematika 11.

Az alábbi tartalmat jelenleg INGYENES hozzáféréssel tekinted meg.
Amennyiben szeretnél teljes hozzáférést az oldalhoz, kérlek, regisztrálj, jelentkezz be, és vásárold meg a szükséges elektronikus licencet vagy írd be a nyomtatott könyv hátuljában található kódot!
A térképek készítését a pontos mérések és számítások teszik lehetővé. A legrégibb térképeket több mint 4000 évvel ezelőtt készítették.
Willebrord Snellius (1591–1626) holland mérnök dolgozott ki olyan, a háromszögek adatainak meghatározására épülő (trigonometriai) módszert, melynek alkalmazásával a térképek pontosabbá váltak. (A módszer lényegét a 10. lecke mutatja be.)
31. ábra

31. ábra

6. Trigonometrikus összefüggések
    alkalmazásai
A háromszögekben bebizonyított tételek felhasználásával számos hiányzó adat válik meghatározhatóvá, illetve további állítások iga­zolhatók. A következő példák ezekre a lehetőségekre mutatnak rá.
1. példa
Egy háromszög oldalainak hossza: a = 2 , b = 4 és c = 3 . Határozzuk meg a legrövidebb oldalhoz tartozó súlyvonal hosszát!
Megoldás
Esetünkben a legrövidebb oldal a háromszög a oldala, tehát az s a súlyvonal hosszát kell meghatároznunk. Használjuk az ábra jelöléseit. (31. ábra)
Írjuk fel a koszinusztételt az ABD valamint az ACD háromszögekben, és használjuk fel, hogy a kiegészítő szögpárokra teljesül, hogy cos(180° – ϕ ) = –cos ϕ .
Az egyenleteket egyszerűbb alakra hozva:
Adjuk össze a két egyenletet, majd rendezés után megkapjuk az s a súlyvonal hosszát:
Ennek értéke a feladatban szereplő adatok alapján:
Teljesen hasonló úton adhatjuk meg a másik két oldalhoz tartozó súlyvonal nagyságára vonatkozó összefüggést is.
32. ábra

32. ábra

2. példa
Meghatározandó egy AB távolság a következő adatokból: egy C pontból ezt a távolságot 30° -os szög alatt látjuk. A szög felezőjén 100 m -t közelítve a megmérendő távolsághoz, egy olyan D pontba jutunk, ahonnan az A pontba mutató irány 120° -os, a B pontba mutató pedig 90° -os szöget zár be az általunk megtett úttal. Mekkora az AB távolság? (32. ábra)
Megoldás
Mivel a CD szakasz szögfelező, ezért az ACD háromszögben a szinusztételt felírva:
A BDC derékszögű háromszögben hasonlóan:
Így ismertté vált az ABC háromszögben két oldal és ezek által bezárt szög, ezért a koszinusztételt alkalmazva:
AB 2 = 122,47 2 + 103,52 2 – 2 · 122,47 · 103,52 · cos30° ;
AB 2 3758,26 .
Így az AB távolság m -nek adódik.
33. ábra

33. ábra

3. példa
Egy 122 cm hosszú kötél két végét egymástól 76 cm távolságban levő pontokban rögzítjük. Ezután úgy feszítjük meg egy közbülső pontjában, hogy a kötél két szára 64° -os szöget zár be. Mekkora a két kötéldarab hossza? (33. ábra)
Megoldás
Használjuk a 33. ábra jelöléseit! A kötelek által kifeszített ABC háromszögben a + b = 122 , c = 76 és γ = 64° .
Írjuk fel a koszinusztételt a c oldalra:
76 2 = a 2 + b 2 – 2 ab · cos64° .
Használjuk fel, hogy
a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 – 2 ab = 122 2 – 2 ab .
Innen:
5776 = 14884 – 2 ab – 2 ab · cos64°;
Mivel b = 122 – a , ezért a következő egyenlethez jutunk:
       a · (122 – a ) = 3166;
a 2 – 122 a + 3166 = 0 .        
Ebből:
a 184,6 cm , illetve a 237,4 cm adódik.
Ez egyben a keletkező kötéldarabok hosszát is jelenti.
34. ábra

34. ábra

4. példa
Egy négyszög oldalaira a 2 + c 2 = b 2 + d 2 . Mekkora szöget zárnak be az átlói? (34. ábra)
Megoldás
Jelöljük a 34. ábrának megfelelően az átlókon keletkező szakaszok hosszát x , y , z és v -vel, az átlók által bezárt szög legyen ϕ .
Írjuk fel a koszinusztételt az átlók által meghatározott négy háromszögben:
a 2 = x 2 + y 2 – 2 xy · cos ϕ ;
b 2 = y 2 + z 2 – 2 yz · cos(180° – ϕ ) ;
c 2 = z 2 + v 2 – 2 zv · cos ϕ ;
d 2 = x 2 + v 2 – 2 xv · cos(180° – ϕ ) .
Felhasználva, hogy cos(180° – ϕ ) = –cos ϕ , a szemközti oldalak négyzetét adjuk össze:
a 2 + c 2 = b 2 + d 2 ;
x 2 + y 2 – 2 xy · cos ϕ + z 2 + v 2 – 2 zv · cos ϕ =
= y 2 + z 2 + 2 yz · cos ϕ + x 2 + v 2 + 2 xv · cos ϕ .
Ezt átrendezve, és 0 -ra redukálva az egyenlet egyik oldalát:
2 · ( xy + zv + yz + xv ) · cos ϕ = 0 .
A bal oldal csak abban az esetben lehet 0 , ha cos ϕ = 0
, azaz ϕ = 90° .
A megadott feltételek esetén tehát az átlók merőlegesek lesznek egymásra.
Megjegyzés: A feladatban szereplő állítás megfordítása azonnal adódik a felírható Pitagorasz-tételekből. Azaz, ha egy négyszög átlói merőlegesek, akkor a szemben levő oldalak hosszának négyzetösszege egyenlő.
Kosárba helyezve!