A kosarad üres

Vásárlás

Darab: 0

Összesen: 0,00

0

Sokszínű matematika 11.

7. A logaritmusfüggvény
A logaritmus definíciójának ismeretében értelmezni fogjuk azt a függvényt, amely minden pozitív számhoz annak logaritmusát rendeli.
Ábrázoljuk és jellemezzük a következő függvényeket:
f : ℝ → ℝ + , f ( x ) = 2 x és g : ℝ + → ℝ, g ( x ) = log 2 x .
Mivel az f ( x ) = 2 x függvény kölcsönösen egyértelmű és log 2 2 x = x , ezért a g függvény az f függvény inverze.
g grafikonja az f grafikonjából az y = x egyenesre vonatkozó tükrözéssel kapható. (22. ábra)
Az f függvény inverze a g függvény, ha az f kölcsönösen egyértelmű, és bármely x -re, amely az f értelmezési tartományának eleme, igaz, hogy g ( f ( x )) = x .
22. ábra

22. ábra

A g függvény szigorúan növekvő, értékkészlete a valós számok halmaza, zérushelye x = 1 . Konkáv függvény.
23. ábra

23. ábra

24. ábra

24. ábra

1. példa
Ábrázoljuk és jellemezzük a következő függvényeket:
f : ℝ → ℝ + , f ( x ) = és g : ℝ + → ℝ, g ( x ) =
Megoldás
A g függvény is inverz kapcsolatban van az f függvénnyel, hiszen A g függvény grafikonja szintén előáll az f függvény grafikonjából az y = x egyenesre való tükrözéssel. (23. ábra)
A g függvény szigorúan csökken, értékkészlete a valós számok halmaza, zérushelye x = 1 . Konvex függvény.
Általában az f : + → ℝ , f ( x ) = log a x függvény szigorúan növekvő, ha a > 1 , és szigorúan csökkenő, ha 0 < a < 1 .
Az f függvénynek az x = 1 helyen zérushelye van.
(24. ábra)
2. példa
Adjuk meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, melyen a következő függvények értelmezhetők, és ábrázoljuk a függvények grafikonját:
a)
f ( x ) = log 2 x + 2 ;
b)
g ( x ) = log 2 ( x – 2) ;
c)
h ( x ) = 3 – log 2 (2 – x ) .
25. ábra

25. ábra

26. ábra

26. ábra

27. ábra

27. ábra

Megoldás (a)
Az f ( x ) = log 2 x + 2 függvény értelmezési tartománya a pozitív számok halmaza.
Az értelmezési tartomány minden helyén 2-vel nagyobb értéket vesz fel, mint az f 1 ( x ) = log 2 x függvény, ezért grafikonja az f 1 grafikonjából az y tengely mentén 2 egységgel pozitív irányba való eltolással kapható. (25. ábra)
A függvényünk értékkészlete a valós számok halmaza.

Megoldás (b)
A g ( x ) = log 2 ( x – 2) függvény értelmezési tartománya a 2 -nél nagyobb valós számok halmaza.
A g függvény ugyanazokat az értékeket veszi fel, mint az f 1 ( x ) = log 2 x függvény, csak 2 -vel nagyobb helyeken, ezért grafikonja az f 1 grafikonjából az x tengely mentén 2 egységgel pozitív irányba való eltolással kapható. (26. ábra)
A függvény zérushelye x = 3 .

Megoldás (c)
A függvény értelmezési tartománya a 2 -nél kisebb valós számok halmaza. Az f 1 ( x ) = log 2 x függvény grafikonjából több lépésben juthatunk el a h függvény grafikonjához:
1.
A h 1 ( x ) = log 2 (– x ) grafikonja az f 1 grafikonjának az y tengelyre való tükrözésével áll elő.
2.
Mivel log 2 (2 – x ) = log 2 [–( x – 2)] , ezért a h 2 ( x ) = log 2 (2 – x ) függvény grafikonja a h 1 grafikonjából az x tengely mentén 2 egységgel pozitív irányban való eltolással kapható.
3.
A h 3 ( x ) = –log 2 (2 – x ) függvény grafikonja a h 2 grafikonjából az x tengelyre vonatkozó tükrözéssel kapható.
4.
A h ( x ) = 3 – log 2 (2 – x ) függvény grafikonja a h 3 grafikonjából az y tengely mentén 3 egységgel pozitív irányban való eltolással áll elő. (27. ábra)

28. ábra

28. ábra

Kosárba helyezve!